“多思”与“统一”.docx

辽宁省沈阳市东北育才学校综合数学办公室（ 110001） 费振鹏
一首旋律优美的音乐百听不厌，余音绕梁，叫人永世难忘；一道好题优雅的解法简捷明快， 一针见血，令人观为叹止•我们在解决很多数学难题时，经常是百思不得其解，但往往当你把其 中几个不同的事物转化、统一成同一个事物去处理，问题反而会迎刃而解，其间的感受说不完道 不尽，正所谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村” ，使人心旷神怡而回味无穷”
在这里，我就拿1997年第5期《中等数学》数学奥林匹克高中训练题中的一道填空题来谈谈 用统一思想求解的多种方法，仅供同学们参考.
问题 已知：a +lg a =1 0，b +1^ =10，贝0 a +b = .
解：（法一）由已知得：a =1010 -，10 _b =10b .
两式相减得 10 _a _b =10 b _1010 -.
10 _a _b .0，则 10 -a . b， 1010 - .10b， 10b -1010- ：：: 0 .
从而 0 ：：：10 -a -b =10b _1010- ：：：0 .矛盾!
ii 若 10 _a _b ：：：0，贝0 10 _a :：: b，1010 - ：：：10b， 10b -1010 - . 0 .
从而 0 .10 -a -b =10b -1010- .0 .矛盾！
综合 i、ii，得 10「a _b -0，即 a 亠b -10 .
评析：本法是巧妙地把原题中指数与对数全部统一成指数，再利用指数函数的单调性而迫敛 到最后一个结果.
（法二）由已知得 lg a =10 —a， 10» =10 —b .
分别作岀函数 y =lg X、y =10 -X、y =10x的图象，设y =lg X与y =10 -x的交点为 A，y =10 与y =10 -x的交点为B，贝0 a为A的横坐标，b为B的横坐标.
由互为反函数的图象关于 y二X对称，知y二X与y =10 -x的交点C（5, 5）为A、B的中点.
从而 a ■ b =5 2=10.
评析：本法一方面把问题中四个函数统一为三个函数，另一方面其中有两个函数互为反函 数•结合反函数的图象性质，巧妙地将“数”通过“形”的直观性展示岀来，使问题变得清晰明 了，而求解起来也容易了许多.
(法三)由 a - lg a =10得：lg a =10 _a , 1010 - = a 即 1010 △ =10 _(10 _ a)
由 b - 10b =10 得：10b =10 _b
分别作岀函数 y =10气y =10 _x的图象，显然它们只有唯一公共点，即 10x =10 _x有唯一
b =10「a，即 a b =10 .
评析：本法是把问题中四个函数统一为两