2021年中南大学研究生入学考试数学分析试题.doc

中南大学-硕士考试数学分析试题
一、求下列极限
（1）；
（2）；
（3）。
二、（共16分，每小题8分）设函数
，
（1）证实连续；
（2）是否一致连续？（请说明理由）。
三、（共16分，每小题8分）
（1）设，求阶全微分；
（2）设，，变换以下方程
。
四、（共20分，每小题10分）
（1）求积分；
（2）求曲面 ，和所围成体积。
五、（共12分，每小题6分）设
，
（1）求条件收敛域；
（2）求绝对收敛域。
六、证实：积分

是参数连续函数。
七、（8分）设定义于上函数存在三阶导函数，且
，，
证实：。
一、（共27分，每小题9分）求下列极限
（1）；
（2）；
（3）设在上可积，且，求。
二、（共24分，每小题12分）设函数在上连续，
（1）证实：若存在，则在上一致连续；
（2）上述逆命题是否成立？（请给出证实或举出反例）。
三、（共27分，每小题9分）设
（1）求偏导数和；
（2）讨论函数和在原点连续性；
（3）讨论在原点可微性。
四、（共30分，每小题15分）
（1）求在处幂级数展开式及其收敛半径；
（2）计算三重积分，其中是由曲面和平面所围区域。
五、（12分）计算下列曲面积分
，
其中，，积分是沿曲面外侧。
六、（共15分，每题5分）设

求相关收敛性；
（2）在上述收敛域中是否一致收敛？
（3）讨论条件收敛性和绝对收敛性。
七、（共8分，每题4分）设，发散，记，
证实：（1）发散； （2）收敛。
八、（8分）设定义于实值函数在右连续，且对任何实数，全部满足

证实： （为常数）
1．证实：若数列收敛，则它有且只有一个极限。 （20分）
2．证实下列结论：
（a）； （10分）
（b）序列收敛。 （20分）
3．设在上连续，且，证实：在上，恒有。（20分）
4．在区间和上，分别讨论级数一致收敛性。 （20分）
5．考察函数
在原点处可微性。 （20分）
6．设是闭区间上连续函数，且在开区间内没有极值点，则是严格单调函数。 （20分）
7．设和满足
及
又设可微，非增，则
（20分）
一、（共30分，每小题10分）
（1）求极限
（2）求极限
（3）设证实其中，

二、（共20分，每小题10分）分别讨论函数在下列区间中是否一致连续：
（1），这里为随便多大正数；
（2）在区间上。
三、（20分）证实下列拉格朗日定理并叙述其几何意义：
“若函数在上连续，在上可导；则在内最少存在一点，使。”
四、（20分）求半径为球内嵌入有最大致积圆柱体体积。
五、（共36分，每小题12分）
（1）求积分；
（2）求第一类曲面积分其中为体积边界；
（3）分别研究函数项级数在下列区间上一致收敛性：
（a）在上，其中（b）在上。
六、（12分）设是上非负可积函数序列，且存在。若，有；证实对任何一个上连续函数全部有
。
七、（12分）设，全部是周期函数，且；证实。
判定题：（每题5分，共25分）
若级数收敛，则 （）；
收敛数列一定有界. （）；
开区间内可导函数一定在闭区间上连续. （）；
若函数在点周围含有二阶连续导数，且，，则在处达成极小值. （）；
若函数在上有定义且是连续，而且极限存在且有限，则在此区间上一致连续. （）.
求下面数列极限值：（每小题10分，共30分）
（1）其中为常数；
（2）；
（3）
求下列函数极值：（每小题10分，共20分）
（1）；
（2）
（20分）设收敛，收敛，试证实级数收敛.
（15分）若非负函数在上连续，且则
（20分）设在上连续，证实
其中
七、（20分）若函数（1）在区间上有二阶导函数，
（2）则在区间内最少存在一点使得
判定题：（正确打√，错误打×，每题5分，共25分）
任何定义