函数的性质 函数的极值与最值.ppt

第二节函数的性质函数的单调性函数的极值三、函数的最值四、曲线的凹凸性五、(x)在x0的某邻域N(x0,6)内有定义,x∈N(x0,6时,有∫(x)<f(x0)(f(x)>f(x0)则称f(x)为函数∫(x)的一个极大(小):(1)函数的极值是局部概念,不一定是整个定义域上的最值,且极值点不能是定义区间的端点(2)在函数的定义域内可能有多个极值,其中极大值不一定大于极小值2极值点的求法驻点:函数的导数为零的点称为函数的驻点定理1(必要条件)若点x是函数y=f(x)的极值点,则x0是f(x)的驻点或导数不存在的点注意:定理1的逆命题不成立y如函数y=x的驻点x=0不是函数的极值点函数取得极值的两个充分条件定理2(第一充分条件)设函数∫(x在x0处连续且在x0的某个空心邻域内可导,则(1)在空心邻域内,如果x<x0时,有f′(x)>0(<0);而x>x时,有f(x)<0(>0),那么x0为f(x)的极大(小)值点;(2)若∫(x)在x的左右同号,那么x0不是f(x)的极值点用表格说明x<xDr>xf'(x)0或不存在f(x极大值x<xr>xf'(x)0或不存在f(x)极小值定理3第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数,且f(x0)=0,f(x0)≠0,那末(1)当f(x0)<0时,函数f(x)在x处取得极大值;(2)当f(x0)>0时,函数f(x)在x处取得极小值证(1)rxn)=mf(x+A)f(x)<0,故f'(xo+Ax)-f(x0)与△异号,当Ax<0时,有f(x0+△x)>f(x0)=0当△x>0时,有f(x0+△x)<f(x)=0所以,函数f(x)(2)注意(1)定理3应用时,必须注意条件“x0是函数f(x)的驻点”;(2)若∫"(x0)=0,不能用定理3y如y=r,y=x在x=0处都不能用定理3例求函数y的极值解由上一节,已知3(x-2)2·x-(x-2)32(x-2)2(x+1x(-∞,-1)|-1(-1,0)(0,2)0极小值27x=-1是极小值点,极小值∫(-1)=27(x-2)3y