金帆6年级秋季讲义与作业详解(第三讲).doc

【几何学发展史二】二、中国古代几何学中国的几何有悠久的历史,可靠的记录从公元前十五世纪谈起,甲骨文内已有“规”和“矩”两个字,规是用来画圆的,,随着铁器的出现,生产力的提高,中国开始了由奴隶制向封建制的过渡,新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。战国时期人们通过田地及国土面积的测量,城池的修建,水利工程的设计等生产生活实践,积累了大量的数学知识。(1)但是秦朝的焚书坑儒给中国文化事业造成空前的浩劫,西汉作为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶,便是《九章算术》的成书。它对于中国和东方数学,大体相当于《几何原本》对于希腊和欧洲数学。中国古代的几何一般不讨论图形离开数量关系的性质,而要计算出长度、面积、体积。在《九章算术》的方田章中有各种多边形、圆、弓形等的面积公式;商功章讨论了各种立体的体积公式。《九章算术》后,中国的数学著述基本采用两种方式:一是为《九章算术》做注;二是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。经过两汉社会经济和科学技术的大发展,到魏晋时期,思想文化领域中儒家的统治地位被削弱,代之以谈三玄——《周易》、《老子》、《庄子》为主的辩难之风。与此相适应,数学家重视理论研究,力图把自先秦到两汉积累起来的数学知识建立在必然可靠的基础之上。(2)刘徽和他的《九章算术注》便是魏晋时代造就的最伟大的数学家和最杰出的数学著作。该书前九卷全面论证了《九章算术》的公式、解法,发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念,在圆面积公式和锥体体积公式的证明中引入了无穷小分割和极限思想,首创了求圆周率的正确方法,指出并纠正了《九章》的某些不正确的或错误的公式,探索出解决球体积的正确途径。以多面体体积的算法为例,在实际中使用了长方体的体积公式:V=abh。堑堵是将长方体沿相对两棱剖开所得的几何体,其体积显然是V=abh/2;沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,一部分是四棱锥,称为阳马,其体积为V=abh/3,另一部分为四面都是直角三角形的三棱锥,叫鳖臑,其体积V=abh/6。刘徽用无穷小分割的方法证明了上述公式。在平面几何中用直角三角形或正方形在立体几何中用锥体和长方体进行移补,,但他创造性地给出了他的“牟合方盖”,但是他未能证明,在书中他也坦诚直言,表示“以俟能言者”。200多年后出了一位“能言者”,那就是祖暅之。(3)《缀术》包含了祖冲之(429—500年)和儿子祖暅之(一作祖暅,生平不详)的数学贡献。祖暅沿用刘徽的“牟合方盖”,证明了球体体积的计算问题,充分显示了中国古代数学家的聪明才智。由于该书内容深奥,隋唐算学馆的学官(相当于今天大学数学系的教授)读不懂,后失传。刘徽和祖氏父子在极限思想的运用上远远超过了古希腊的同类思想,达到了文艺复兴前世界数学界的最高峰。第三讲:立体几何长方体和正方体如右图,长方体共有六个面(每个面都是长方形),八个顶点,十二条棱.①在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等.(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形.)②长方体的表面积和体积的计算公式是:长方体的表面积:;长方体的体积:.③正方体是各棱相等的长方体,它是长方体的特例,,那么:,.二、圆柱与圆锥立体图形表面积体积圆柱圆锥注:是母线,即从顶点到底面圆上的线段长球【典型例题】下图是一个棱长为2厘米的正方体,在正方体上表面的正中,向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞,接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞,第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米,那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?一个正方体木块,棱长是1米,沿着水平方向将它锯成2片,每片又锯成3长条,每条又锯成4小块,共得到大大小小的长方体24块,那么这24块长方体的表面积之和是多少?一个表面积为的长方体如图切成27个小长方体,,25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体,表面积最小是多少?一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),,瓶内的酒精的液面高为6厘米;瓶子倒放时,:瓶内酒精的体积是多少立方厘米?合多少升?一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水,瓶底面积为平方厘米,(如下图所示),请你根据图中标明的数据,计算瓶子的容积是______. 一个盛有水的圆柱形容器,底面内半径为5厘米,深20厘米,,?有甲、乙两只圆柱形玻璃杯,其内直径依次是10厘米、20厘米,,当取出此铁块后,甲杯中的水位下降了2厘米;然后将铁块沉没于乙杯,且乙杯