立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究1球与柱体规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,,正方体,设正方体的棱长为,为棱的中点,为球的球心。常见组合方式有三类:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形和其内切圆,则;二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形和其外接圆,则;三是球为正方体的外接球,截面图为长方形和其外接圆,,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题。例1棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为()A. B. C. ,,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径例2在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为()A. C. ,常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱的高为,底面边长为,如图2所示,和分别为上下底面的中心。根据几何体的特点,球心必落在高的中点,,借助直角三角形的勾股定理,可求。例3正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上,则正四棱柱的侧面积有最值,,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。如图4,设正四面体的棱长为,内切球半径为,外接球的半径为,取的中点为,为在底面的射影,连接为正四面体的高。在截面三角形,作一个与边和相切,圆心在高上的圆,即为内切球的截面。因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为。此时,则有解得:这个解法是通过利用两心合一的思路,,,,这个正四面体的高的最小值为()++,这个小球球心与外切正四面体的中心重合,而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.],,即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式:一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等,则可以补形为一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图5,三棱锥的外接球的球心和正方体的外接球的球心重合,设,则。二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等,
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