反函数 典型例题精析.docx

反函数_典型例题精析-例题解析【例1]求下列函敷的反函敷:3x-5 1y=八,( 22y=x—2x+3,x€(—8,0].1 ,y=-^-(x<0).x1[v'x+1(—1<x<0)y=\ f-/[-<x(0vx<1)… 3x—5 1 3解⑴•y=2^m(x^2),,■y*2,由尸=3x-52~7?侍(2y—3)x=—y-5,」xIv5i,一,,,y5 3x=土药所求反函数为y=土药(x冬-)•解(2)y=(x—1)2+2,x€(一8,0]其值域舄y€[2,+°o),由尸=(x—1)2+2(x<0),得x—1=—Jy—2,即x=1-侦y—2•••反函数为f"x)=1-Jx-2,(x>2).… 1解⑶y=寻^(xv0),它的值域为0<yv1由y= 得x=—J1^,x21 .y1 1-x.•反函数为f(x)=一寸一^(0<x<1).解(4)由y=Jx+1(—1<xv0),得值域0Vy<1,反函数L(x)=x2—1(0<x<1).由y=—<x(0<x<1),得值域一1Vy<0,反函数f"(x)=x2(—1<x<0),2一,一一,,x2—1(0<x<1)故所求反函数为y=2 .[x2 (-1<x<0)【例2】求出下列函敷的反函敷,业重出原函敷和其反函敷的K像.(1)y=V^1-1 (2)y=—3x2—2(x<0)解(1):已知函敷的定羲域是 xA1,值域舄y>-1,由y=.x-1一1,得反函数尸=(x+1)2+1(x»—1).4-=Jx—1—1与它的反函数y=(x+1)2+(2)由y=—3x2—2(x<0)得值域y<-2,反函数L(x)=—J—;(xv-2).3x1 1【例3】已知函数f(x)= (x乒一a,a乒一).xa 3⑴求它的反函敷; ⑵求使f-1(x)=f(x)的^(1)设y= ,x^-a,xay(x+a)=3x+1,(y—3)x=1—ay,这里y丰3,… … 1、、,一,1一一右*y=3,则a=-这与已知a乒—矛盾,3 31-ay i1-axx= ,,即反函数f,(x)=y-3 x-33x1 1-ax (2)右'f(x)=f(x),即 = 对正义域内一切x的值恒成立,xax—3令x=0,•■-a=—(x)=f-1(x),那麽函敷f(x)舆f-1(x)的定羲域和值域相同,定羲域是(x|x乒a,x€R},值域yC(y|y乒3,y€R},.•.—a=3即a=—.【例4】已知函数y=f(x)=中,a、b、c、d均不为零,cxd^求a、b、c、d满足什麽倏件Bf,(x)=a+底―*,•.•(cxd)i-dxb••bc—ad^(x)= ,cx-a要使畋^,对定义域内一切x值包成立,cx_a cxd令x=0,得一a=d,即a+d=^上,富a+d=0畤,必有f-1(x)=f(x),因此所求的倏件是bc—ad乒0,且a+d=0.【例5]画!占M(1,2)既在函敷f(x)=ax2+b(x>0)的圈像上,又在它的反函敷圈像上,⑴求f-1(x),⑵^明f-1(x)(1)由』2=a+b1=4a+b一― 1 0证(2)由y=_3x2+一1/曰a3 , 12 7碍]7 ,•,-f(x)—-x+-(x>0)7 3 3?=33(x>0)得反