中学数学的最值问题.doc

中学数学的最值问题最值问题是历年高考的热点,也是学生学****的难点。对于中学数学的常见最值问题,可归纳为以下几大块:一、用函数的单调性求代数函数的最值(1)对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数,若定义域的闭区间,如x∈[m,n],则f(m),与f(n)中较大者为最大值,较小者为最小值。(2)求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上的最值时,先判定对称轴x=-是否属于[m,n],若x=-∈[m,n],则f(m),f(n),f(-中较大者是最大值,较小者是最小值,若-[m,n],则f(m)与f(n)中较大者为最大值,较小者为最小值;若二次函数f(x)2ax2+bx+c的定义域为R,当a>0时,有最小值ymn=,岂a<0时,有最大值ymax=,例1、求函数y=x2-2x-3在[,]上的最值。解:∵对称轴x=1∈[,]f,而f()=,f(1)=-4,f(∟)=-.∴f(x)max=f(x)min=-4例2、(2004年北京卷)f(x)=ax2+bx+c中,若a、b、c成等比数列,且f(0)=-4,则f(x)有最________值(填“大”或“小”)且该值为_______。解:∵f(0)=-4∴c=-42∵a、b、c成等比数列∴b2=ac=-4a而b≠0则有a<0从而函数f(x)=ax2+bx+c的图象的开口向下,故有最大值,其最大值为:f(x)max===-3.(3)对定义在[n,m]上的函数f(x)还可借助导函数值的符号判定其单调性,从而求得函数f(x)在[n,m]上的最值。例3、已知函数f(x)=x∈[1,+∞]当a=时,求函数f(x)的最小值(2004年上海)解:当a=时,f(x)=x++2∵f/(x)=1-∵x∈[1,+∞]∴f/(x)>0∴f(x)在[1,+∞]上是增函数∴f(x)在区间[1,+∞]上的最小值是f(x)min=f(1)=二、有关三角函数最值的求法(1)用三角函数的有界性求最值由于正弦函数,余弦函数均是有界函数,即:-1≤sinx≤1-1≤cosx≤1,故在求三角函数有关的函数的最值时,可考虑把它转化为同一三角函数,然后运用三角函数的有界性求其最值。例4,已知R<-4,则函数cos2x+R(cosx-1)的最小值是()A、1B、-2C、2R+1D、-2R+1解:∵y=cos2x+R(cosx-1)=2cos2x+Rcosx-R-1=2(cosx+)2-R-1-而R<-4∴当cosx=1时,ymin=1例5,a、b是不相等的函数,求y=+的最大值和最小值。解:∵y是正值,故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小)。y2=acosx2+bsin2x+2·+asin2x+asin2x+bcos2x=a+b+∵a≠ba>0b>0∴(a-b)2>00≤sin2x≤1∴当sinx=±1,即x=+(k∈z)时ymax=当sinx=0,即x=(k∈z)时,ymin=+(2)利用三角函数的单调性如果f(x)在[α,β]上是增函数,则f(x)在[α,β]上有f(x)max=f(β),f(x)min=f(x),如果f(x)在[α,β]上是减函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(x),最小值f(β).例6,在0≤x≤的条件下,求y=cos2x-4sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值。解:用二倍角公式及变形公式有:y=-2sinx-3=2(cos2x-sinx)-1=2(cos2xcos-sin2xsin)-1=2cos(2x+)-1∵0≤x≤∴≤2x+≤由余弦函数的单调性知:cos(2x+)在[0,]上是减函数,故岂x=0时有最大值,当x=时有最小值-1。cos(2x+)在[,]上是增函数,故当x=时,有最小值-1,当x=时有最大值-。综上当x=0时,ymax=2×-1=1当x=时,ymin=2x(-1)-1=2-1(3)用换元法求三角函数的最值利用变量代换,我们可以把三角函数的最值问题转化为代数函数最值问题求解,例7,求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值。解:f(x)=sin4x+2sincosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x=(sin4x+2sin2xcos2x+cos4x)-sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2+2sinxcosx=1+2sinxcosx-sin2xcos2x令t=sinxcosx=sin2x则-≤t≤∴f(t)=1+2t-t2=-(t-t)2+2(-≤t≤)当t=,即x=kπ+(k∈z)时,f(x)max=f(t)max=当t=-,即x=kπ+(kπ∈z)时,f(x)min