范文复变函数 3.2Cauchy积分定理的证明.ppt

范文复变函数 3.2Cauchy积分定理的证明.ppt复变函数论多媒体教学课件DepartmentofMathematics第三章复变函数的积分第二节柯西积分定理优选文档*第二节柯西积分定理1柯西积分定理2柯西积分定理的证明3不定积分4柯西积分定理的推广优选文档*(z)是单连通区域D的解析函数,(1)设C是D内任一条简单闭曲线,那么其中,沿曲线C的积分是按反时针方向取的。(2)C是在D内连接及z两点的任一条简单曲线,那么沿C从到z的积分值由及z所确定,而不依赖于曲线C,这时,*(z)是在单连通区域D内的解析函数。设C是D内的一个多角形的周界。那么在这里沿C的积分是按反时针方向取的。证明:先对C是三角形周界的情形进行证明,然后证明一般情形。优选文档*引理的证明(1)C为三角形的周界设下面证明M=0。等分给定的三角形的每一边,两两连接这些分点,给定的三角形被分成四个全等的三角形,我们显然有:优选文档*引理的证明因此,沿周界的积分中,至少有一个的模不小于M/4。不妨假设这个周界为对于这个三角形周界为,我们也把它等分成四个全等的三角形,其中一个的周界满足把这种作法一直进行下去,我们得到具有周界:一个三角形序列,其中每一个包含后一个,而且有下面的不等式:优选文档*引理的证明用U表示周界的长度,于是周界的长度是现在估计的模。由于三角形序列中每一个每一个包含它后面的全部三角形,而且因此由数学分析中的闭区域套定理,得存在着一点属于序列中的所有三角形。优选文档*引理的证明又因为f(z)在有导数,所以使得当时于是当时显然,当n充分大时,所确定的圆盘内,因此当时,上式成立。优选文档*引理的证明且有,所以其次,由于,我们有于是当n充分大时,优选文档*引理的证明因此由于的任意性,我们得到M=0。即优选文档*