北京高考数学(理科)汇编之解答题(第20题).doc

2005-2011年高考数学(理科)汇编之解答题(第20题)11(本小题共13分) 若数列满足,数列为数列,记=. (Ⅰ)写出一个满足,且〉0的数列; (Ⅱ)若,n=2000,证明:E数列是递增数列的充要条件是=2011; (Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由。10(本小题共13分),,定义A与B的差为A与B之间的距离为(Ⅰ)证明:,且;(Ⅱ)证明:三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ)设P,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为(P).证明:(P)≤.09.(本小题共13分)已知数集具有性质;对任意的,与两数中至少有一个属于。(I)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;(Ⅱ)证明:,且(Ⅲ)证明:当时,成等比数列。08.(本小题共13分)对于每项均是正整数的数列,定义变换,,定义变换,将数列各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列;,令.(Ⅰ)如果数列为5,3,2,写出数列;(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列,证明;(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列,存在正整数,当时,.07、(本小题共13分)已知集合,其中,由中的元素构成两个相应的集合:,.其中是有序数对,,总有,则称集合具有性质.(I)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合,写出相应的集合和;(II)对任何具有性质的集合,证明:;(III)判断和的大小关系,.(本小题共14分) 在数列中,若是正整数,且,则称为“绝对差数列”.(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);(Ⅱ)若“绝对差数列”中,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”.(本小题共14分)设f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0,x*]上单调递增,在[x*,1]上单调递减,则称f(x)为[0,1]上的单峰函数,x*为峰点,[0,l]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.(I)证明:对任意的x1,x2∈(0,1),x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x*,1)为含峰区间;(II)对给定的r(0<r<),证明:存在x1,x2∈(0,1),满足x2-x1≥2r,使得由(I)+r;(III)选取x1,x2∈(0,1),x1<x2,由(I)可确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,(0,x2)的情况下,试确定x1,x2,x3的值,,.(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)参考答案:11(共13分)解:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)(Ⅱ)必要性:因为E数列A5是递增数列,,=12+(2000—1)×1=,由于a2000—a1000≤1,a2000—a1000≤1……a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12,a2000=2011, 所以a2000=a1+1999. 故是递增数列. 综上,结论得证。 (Ⅲ)令 因为 …… 所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,,有当的项满足,当不能被4整除,此时不存在E数列An,使得10(共13分)证明:(I)设,,因为,,所以,从而又由题意知,,.当时,;当时,所以(II)设,,,,.记,由(I)可知所以中1的个数为,的1的个数为。设是使成立的的个数,则由此可知,三个数不可能都是奇数,即,,三个数中至少有一个是偶数。设中所有元素的第个位置的数字中共有个1,个0