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文档分类:通信/电子

几何概型中殊途各异问题和策略分析.doc


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几何概型中殊途各异问题和策略分析.doc
文档介绍:
几何概型中殊途各异问题和策略分析.doc几何概型中“殊途各异”问题和策略分析在新课程的推进过程中,教师应注意培养学生的“创新精神”,而创新中必不可少的就是学生的“发散思维”.从小学开始,我们就经常向学生传达一种理念,那就是对于一道数学题目,学生在求解过程中尽可能多思考几种方法,这种“i题多解”的训练能很好地训练学生的发散思维能力.事实上,“一题多解”也就是“殊途同归”在数学领域的反应.但在讲授新课程高中数学必修3概率中的儿何概型问题时,我们偶尔会遇到这样的情况:当采用不同的解题思路时,学生会得到截然不同的结论,这时学生对应用儿何概型解题的认知就出现了困难,并让学生感到困惑,这也同时产生了教学上的难点.如何向学生解释这种“殊途各异”的现象,让学生理解这种在数学史上称为“贝特朗奇论”的现象,对学生的发散思维的培养、创新能力的提高有着重要的意义,所以解决几何概型中的“殊途各异”的现象就成了摆在所有教师面前的一个课题,同时如何避免因为此类“殊途各异”问题给平时教学带来麻烦也是需要所有教师解决的问题.下面我们就从“贝特朗奇论”开始我们的讨论.贝特朗奇论:所谓贝特朗奇论的提出是因为在19世纪,人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答.然而JosephBertrand在19世纪末提出的一个问题改变了人们的想法.他在巴黎出版的《概率论》一书屮列举了一个会产生不同结果的儿何概型问题.他对儿何概型的不确定性提出的批评大大推动了概率论向公理化方向的发展.实例I(贝特朗奇论):问题:在半径为1的圆内随机取一条弦,问其长度超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少?那么,贝朗特奇论是如何产生的呢?我们看到在同一问题中之所以有三种不同的答案,是因为我们在取眩时采用了不同的等可能性假定.在第一种解法中,学生假定端点在圆周上均匀分布;第二种解法中,学生则假定弦的中点在直径上均匀分布;第三种解法中,学生又假定弦的中点在圆内均匀分布.不同的等可能性假定使得各个解法中的概率空间变得不同,进而产生了不同的结果.我们用计算机模拟了这三种假定中弦的中点和弦本身的分布情况(三种情况各进行了5000次模拟实验,得出下面的结果).如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布.那么前两种假设中眩的中点便不是均匀分布了•虽然我们看到的图像中弦的分布基本上是均匀的,但我们可以看到前两种假设情况下的弦的中点在圆心处有不同程度的集中分布情况,只有解法3中的弦的中点在圆内才是近似均匀分布的.它们的分布情况如下.当然像’‘贝特朗奇论”这样典型的“殊途各异”问题在实际教学屮是不容易见到的,此类问题并不会在所有的儿何概型问题中出现,即使出现了有时也是很难被发现的.比如下面实例中所举的问题中解法1和解法2甚至会给我们带来“--题多解”的印象.实例2:在圆周上任取三点,求三点落在同一半圆上的概率.其中A、B、C在圆0同一半圆上的情况,即ZABC、ZACB、ZBAC中有一个角为钝角的情况:由此我们可得到当然上而的两种解法在本质上是相同的,所以得到的结论也是一样的,但这种“一题多解”仅仅是表象,如果我们建立不同于解法1和解法2的等可能性假设,那么我们就会发现这实际上是一道“殊途各异”的几何概型问题.解法3:如图3,我们假设在圆周上任取三点构成三角形,该类三角形的重心在圆内均匀分布,因为圆周上任意三点在同一半圆上的充要条件是它们所确定的三 内容来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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  • 上传人小雄
  • 文件大小64 KB
  • 时间2020-08-12
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