在职研究生考试数学测试练习题.doc

在职研究生考试数学测试练****题微积分(1)设是微分方程的满足,的解,则()(A)等于0. (B)等于1. (C)等于2. (D),将代入方程,得,又,,故,所以,选择B.(2)设在全平面上有,,则保证不等式成立的条件是()(A),. (B),.(C),. (D),.解关于单调减少,关于单调增加,当,时,,选择A.(3)设在存在二阶导数,且,当时有,,则当时有()(A).(B).(C).(D).解【利用数形结合】为奇函数,当时,的图形为递减的凹曲线,当时,的图形为递减的凸曲线,选择D.(4)设函数连续,且,则存在,使得()(A)在单调增加(B)在单调减少(C)对任意的,有(D)对任意的,有解【利用导数的定义和极限的保号性】,由极限的的保号性,,在此邻域,,所以对任意的,有,选择D.(5)函数在下列哪个区间有界.(A)(-1,0). (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3).[A]【分析】如f(x)在(a,b)连续,且极限与存在,则函数f(x)在(a,b)有界.【详解】当x¹0,1,2时,f(x)连续,而,,,,,所以,函数f(x)在(-1,0)有界,故选(A).【评注】一般地,如函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间[a,b]上有界;如函数f(x)在开区间(a,b)连续,且极限与存在,则函数f(x)在开区间(a,b)有界.(6)设f(x)在(-¥,+¥)有定义,且, ,则(A)x=0必是g(x)的第一类间断点. (B)x=0必是g(x)的第二类间断点.(C)x=0必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关. [D]【分析】考查极限是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元,可将极限转化为.【详解】因为=a(令),又g(0)=0,所以, 当a=0时,,即g(x)在点x=0处连续,当a¹0时,,即x=0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关,故选(D).【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性.(7)设f(x)=|x(1-x)|,则(A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点. [C]【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况,考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况.【详解】设0<d<1,当xÎ(-d,0)È(0,d)时,f(x)>0,而f(0)=0,所以x=0是f(x)的极小值点. 显然,x=0是f(x)Î(-d,0)时,f(x)=-x(1-x),, 当xÎ(0,d)时,f(x)=x(1-x),,所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点. 故选(C).【评注】对于极值情况,也可考查f(x)在x=0的某空心邻域的一阶导数的符号来判断.(8)设有下列命题: (1)若收敛,则收敛. (2)若收敛,则收敛. (3)若,则发散. (4)若收敛,则,(A)(1)(2). (B)(2)(3). (C)(3)(4). (D)(1)(4). [B]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的,如令,显然,分散,而收敛.(2)是正确的,因为改变、增加或减少级数的有限项,不改变级数的收敛性.(3)是正确的,因为由可得到不趋向于零(n®¥),所以发散.(4)是错误的,如令,显然,,都发散,(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法,属于基本题型.(9)设在[a,b]上连续,且,则下列结论中错误的是 (A)至少存在一点,使得>f(a). (B)至少存在一点,使得>f(b). (C)至少存在一点,使得. (D)至少存在一点,使得=0. [D]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由排除法可选出错误选项.【详解】首先,由已知在[a,b]上连续,且,则由介值定理,至少存在一点,使得; 另外,,由极限的保号性,至少存在一点 使得,,至少存在一点 ,(A)(B)(C)都正确,故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性,有一定的难度.(10)设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,分别为在点处对应的增量与微分,若,则(A).(B).(C).(D).[A]【分析】题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.【详解】由知,函数单调增加,曲线凹向,作函数的图形如右图所示,显然当时,,故应选(A).(1