特殊群的子群,不变子群与商群.doc

特殊群的子群、不变子群与商群摘要:群是一种代数运算的代数体系,它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支,,,同时证明了诸判别条件的等价性并给出一些应用,通过不变子群与同态的几个关系看出不变子群和商群的重要意义,并且着重列举出了一些特殊群的子群不变子群及商群,:子群;不变子群;判别准则;陪集;,代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科,代数方程的求解问题依然是代数的基本问题,,,特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作,开始研究多项式方程的可解性理论,,也不去追究该方程的根究竟是怎样的,,鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的,从而转证五次以上方程是不可用根式求解的,,德国数学家高斯开辟了一个新方法,在证明代数基本理论时,他不去计算一个根,,在1801年,他解决了分圆方程-1=0(为质数)可用根式求解,这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此,,,他修正了鲁菲尼证明中的缺陷,严格证明如果一个方程可以根式求解,:,他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题,发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根(假设为)的有理函数,并且任意两个根与满足,,。阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题,,主要的成就是提出了群的概念,并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题,而且由此发展了一整套关于群和域的理论,,,,、核结构、原子结构和晶体结构等许多方面,分析它在分子偶极距、,*是它的一个代数运算,如果满足以下条件:Ⅰ.结合律成立,即对中任意元素都有;Ⅱ.中有元素,叫做的左单位元,它对中每个元素都有;Ⅲ.对中每个元素在中都有元素,叫做的左逆元,使,则称对代数运算*做成一个群。,都有(即保运算),记为,,那么的逆映射:,:必是双射,,注意到了=,且,,则必然存在,使=,=,且=,=.于是=()== =:和:都是群同构映射,那么也是群同构映射。证明:因为和,都是双射,,须也能保持运算.,是同构映射。“”作为关系时,“”必是一个等价关系。证明:(1)任一个群,显然,这里1是的恒等变换。(2)若那么由结论1(3)若,且由结论2由(1),(2)知,“”满足发射定律,对称律和传递律。所以,“”是等价关系。例1设群=是四次单位根群,=是由元素,和关系==和=,为什么?解如果与同构,,而,是单射,我们可以得到-1=。,如果存在映射使都有,则称是群同构态映射;如果是满射,则必为群满同态映射,(注:这是重要的一种同态,要特别关注)简称与同态,并记为~,,若是群,(i)若是的单位元,,必是的单位元.(ii)若2子群的同构