2020年高考数学(理)总复习：立体几何中的向量方法(解析版).docx

2020年高考数学(理)总复****立体几何中的向量方法题型一利用向量证明平行与垂直【题型要点】向量证明平行与垂直的4步骤⑴建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用载体中的垂直关系;⑵建立空间图形与空间向量之间的关系, 用空间向量表示出问题中所涉及的点、 直线、平面的要素;(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量,再研究平行、垂直关系;(4)根据运动结果解释相关问题.【例1】如图,在直三棱柱ADE—BCF中,面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直,点M为AB的中点,:0M//平面BCF;平面MDF丄平面EFCD.【证明】 方法(1)由题意,得AB,AD,AE两两垂直,,则A(0A0),B(1,0,0),如'0),D(0J,0),F(1A1),M?0,0,1112'2'21 1「t0M=0,--,—[,BA=(-1,0,0),I2 2丿二0mBA=0,•••OM丄BA.•••棱柱ADE—BCF是直三棱柱,•AB丄平面BCF,•BA是平面BCF的一个法向量,且OM?平面BCF,•OM//平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为ni=(xi,yi,zi),n2=(X2,y2,Z2).•••dF=(1,-1,1),DM=丄,_1,0,DC=(1,0,0),CF=(0,-1,1),12 丿In1DF=0,由n1DM=0,(X1—y1+Z1=0,得|x1-y1=0,(11令X1=1,贝Vn1=1,—=(0,1,1).'、一22丿•/n1n2=0,•••(1)OM=OF+fB+bMi=1[df—bF+1ba=1(db+BF)—BF+屛=—1品—屛+昇=—2(bc+bA)—|bf+1ba1t1t=—尹c—尹F.•向量OM与向量bF,BC共面,又OM?平面BCF,•OM//平面BCF.⑵由题意知,BF,BC,BA两两垂直,•/CD=BA,FC=BC—BF,•-OMCd=--bc bfBA=0,l2 2丿OmFC=-^bc-^bf[(Bc—BF)I2 2丿1->2 1~T2c=—尹c+2BF=0.•••OM丄CD,OM丄FC,又CDAFC=C,CD,FC??平面MDF,•,在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,的中点,PA=AB=1,BC=2.⑴求证:EF//平面PAB;(2)求证:,点E,F分另是PC,PD【证明】 (1)以点A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).•••点E,F分别是PC,PD的中点,r1 > iEF=—,0,0j,AB=(1,0,0).•••EF=-1Ab,l2丿 2•EF//AB,即EF//AB,又AB?平面PAB,EF?平面FAB,•EF//平面PAB.(2)由(1)可知,PB=(1,0,—1),PD=(0,2,—1),AP=(0,0,1),AD=(0,2,0),DC=(1,0,0),•/ApDC=(0,0,1)(1-,0,0)=0,AdDC=(0,2,0)(1-,0,0)=0,•Ap丄DC,Ad丄DC,即ap丄dc,=A,AP,AD?平面PAD,•DC丄平面PAD.•/DC?平面PDC,•【题型要点】1•利用向量法求直线与平面所成角时易混淆直线与平面所成角与直线方向向量和平面的法向量的夹角的关系,一定要注意线面角B与夹角a的关系为sin0=|,m的夹角求得,即先求|cos〈n,m>|, 0为锐角,则cos0=|cos<n,m>|;若0为钝角,则cos0=—|cos<n,m>|.CD//FG且CD=2FG,DG丄平面ABCD,DA=DC=DG=【例2】如图,AD//BC且AD=2BC,AD丄CD,EG//AD且EG=AD,⑴若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN//平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;⑶若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°求线段DP的长.【解】 依题意,可以建立以 D为原点,分别以DA,DC,DG的方向为x轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐标系 (如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,