2020年高考数学(理)总复习：利用导数解决不等式问题(原卷版).docx

2020年高考数学(理)总复****利用导数解决不等式问题题型一利用导数解决不等式的恒成立与能成立问题【题型要点】已知不等式f(x,力>OR为实参数)对任意的x€D恒成立,求参数 入的取值范围•禾U用导数解决这个问题的常用思想方法如下:分离参数法:第一步,将原不等式f(x,R>*€D,入为实参数)分离,使不等式的一边是参数,另一边不含参数,即化为fl(R绝(X)或fl(R<2(x)的形式;第二步,利用导数求出函数 f2(x)(x€D)的最大(小)值;第三步,解不等式fi(RSf2(x)max或fl(R竜(X):第一步,将不等式转化为某含参数的函数的最值问题;第二步,利用导数求出该函数的极值 (最值);第三步,构建不等式求解.【例1】已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x€R),其中a,b€(1)当a=—亍时,讨论函数f(x)的单调性;⑵若函数f(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范围;⑶若对于任意的a€[—2,2],不等式f(x)w在[—1,1]上恒成立,(x)=ex_1+ax,a€R.(1)讨论函数f(x)的单调区间;⑵若?x€[1,+a),f(x)+Inx^a+1恒成立,【题型要点】用导数证明不等式的方法(1)利用单调性:若 f(x)在[a,b]上是增函数,则①?x€[a,b],贝Uf(a)<(x)嚼b);②对?X1,x?€[a,b],且X1<X2,则f(X1)<f(x2).对于减函数有类似结论.⑵利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则对?x€D,有f(x)<1(或f(x)Sm).⑶证明f(x)<g(x),可构造函数F(x)=f(x)—g(x),证明F(x)<0.【例2】已知函数f(x)=(Inx—k—1)x(k€R).(1)当x>1时,求f(x)的单调区间和极值;2⑵若对于任意x€[e,e],都有f(x)<4lnx成立,求k的取值范围;2k若X1为<2,且f(X1)=f(X2),证明:X1x2<(x)=Inx+三心〉。).⑴若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;⑵证明:当时,f(x)>e「I题型三用赋值法证明与正整数有关的不等式【题型要点】(1)利用导数研究的正整数不等式一般都与题目给出的函数不等式有关,如本例中给出11■1}的函数f(x)在a=2,X》1时,有不等式2x-—[>Inx,根据函数的定义域,这个不等式当然对一切大于等于1的数成立,这样根据所证不等式的特点, ,而且不等式中含有Inn的问题,一般都是通过赋值使之产生『呻ln^等使问题获得解决的,如证明2+3+・・・+注切+『2-In(n+2)时,就是通过变换亠=1—丄n+1n+1,进而通过不等式x>ln(1+x)(x>0),得」>in\1 —nInJ=ln(n+1)—Inn.(2)证明正整数不等式时,要把这些正整数放在正实数的范围内,通过构造正实数的不等式进行证明,而不能直接构造正整数的函数, 因为这样的函数不是可导函数, =x—1.【例