海文考研数学一模考试卷.doc

海文考研数学一模考试卷参考解答一、填空题(1)【答案】【分析】由通解的形式可知该方程的特征方程的两个特征根,,从而得知特征方程为=因此,所求微分方程为(2)【答案】c【分析1】方程两边分别对求偏导数得第一式乘加上第二式乘b得=因此,【分析2】两边求全微分得=(3)【答案】【分析】用先后的积分顺序,为,==(4)【答案】,其中【分析】=令则的全体原函数是【评注】在[,]连续,它一定存在原函数,因为在无定义,所以我们用不定积分法只是分别求得与上的原函数,我们只要在处将它们连续地拼接起来就得到在[o,]上的原函数。(5)【答案】-5【分析】A是正交矩阵由于 =而=(10-3)因此,【评注】本题考查矩阵的运算,正交矩阵的概念等,注意区别与,前者是一个数,后者是3阶矩阵(6)【答案】.【分析】由题设知X的密度函数,Y的条件密度函数=,所以(X,Y)的联合密度函数,=由此可知(X,Y)服从二维正态分布二、选择题(7)【答案】D【分析】(A),(C)均是2阶的。(B)是3阶的用泰勒公式未确定(D)的阶。由(D)是4阶的。因此应选(D)(8)【答案】B【分析】当或时在(0,1),(3,4)单调下降,当时在(1,3)单调上升。又在(0,2)单调上升在(0,2)是凹的,在(2,4)单调下降在(2,4)是凸的。因此,应选(B)(9)【答案】B【分析】要逐一分析它们是否正确命题①是错的。函数图形如图所示则是的拐点且是的极小值点。命题②是错的,在极小值点处可以有如是的极小值点。命题③是错的,若加条件:是()连续,则该命题正确;若不连续,则命题不正确,如图所示,在()有唯一驻点,是的极小值点,但不是在的最小值。命题④是正确的,若是在的最大值且存在,则于是当不可能是在[]的最大值。因此,选(B)(10)【答案】D【分析】这四个级数中有两个是条件收敛的,而另外两个不是条件收敛的。【分析1】级数②的一般项取绝对值后是②是绝对收敛级数③的一般项收敛,发散级数③发散因此,只能有①与④条件收敛应选(D)【分析2】级数①是条件收敛的单调下降趋于零发散发散级数①条件收敛级数④的一般项单调下降趋于零交错级数④收敛,但发散,级数④是条件收敛,因此,选(D)【评注】①发散②熟悉结论才可知级数①条件收敛(11)【答案】D【分析】由是的基础解系,知的基础解系由的3个线性无关的解向量所构成。由,即必是的解,现在(A)中只有2个解向量,向量个数不符合要求应舍去。(B)、(C)、(D)均是3个解向量,那一组是线性无关的呢?在(B)中,若令由于三个向量可以由两个向量线性表出,所以必线性相关,应舍去。对于(C),由行列式而知线性相关,舍去,故应选(D)。【评注】本题考查基础解系的概念及线性无关的判定方法(12)【答案】B【分析】由B≠C,A(B-C)=0,知齐次方程组有非零解,而有非零解的充分必要条件是。因为当时,但当时,亦可为1,所以是充分而非必要条件。【评注】本题考查若AB=0,则B的列向量是齐次方程组的解,以及有非零解的充分必要条件。(13)【答案】A【分析】直接通过计算协方差来判断已知X和Y独立,故cov(X,Y)=0,cov(X,X+Y)=cov(X,X)+cov(X,Y)=DX>+Y一定相关,选择(A)。又由于:故选项(C)、(D)有时成立,有时不成立。(14)【答案】D【分析】这是一道概念性、理论性选择题,应用已知结论即可确定正确选项。事实上,由题设知,,,,相互独立,且由此可知选择(D)三、解答题(15)【分析与求解】(Ⅰ)=(Ⅱ)因为常数==(半径为1的圆的面积)=16【分析与求解】由复合函数求导法,建立对的偏导数与对的导数的关系,把方程(*)转化为的常微分方程,然后求出。是与的复合函数将它们相加得于是方程(*)变成令,降价得这是可分离变量的方程,分离变量并积分得解出为常数对再积分得() ()或写成为常数及(17)【分析与求解】(Ⅰ)先求幂级数的收敛半径,=收敛半径。再对幂级数逐项求导求得现按所要证明的等式的提示,将此级数分解成 ===(Ⅱ)从等式右端得左端即求和函数y(x),已知,由题(Ⅰ),求y(x)即求微分方程的初值问题这是一阶线性方程,标准化后是两边乘得积分得即(Ⅲ),则由由(18)【分析与证明】即证明函数在存在零点在()存在零点 为了对用罗尔定理,在内要找两点使得。由已知条件知, , 存在使得, 在上可导,由罗尔定理 ,即结论成立。 (19)【分析与求解1】用斯托克斯公式 把平面被柱面所截部分记为,其边界L,按右手法则,取上侧。 由斯托克斯公式