考研数学一 425 1.doc

-425考研数学一)(总分:,做题时间:)一、填空题(5,分数:总题数:=,β为三维非零列向量,(α,β)=3,αβ,则A(分数:)2222X≠0,故,而λ-3λ)X=0λAX=λX,因为AX=X,所以有(=3A解析:0或3[解析]因为A,令.=0,所以λ=3,λ=λβ+3A的特征值为0或者,因为λ+λλ=tr(A)=(α,))+4xx-(x,,x)=(x3123221(分数:).]因为[解析,所以解析:α.,经过施密特正交规范化后的向量组为,,312(分数:)解析解析:[].,则的秩为a=1(分数:),解得2,所以解析:|A|=0解析[]该二次型的矩阵为,,)(分数:解析]二次型的矩阵为,因为二次型为正定二次型,所以有5>0,,|A|>解析:t2[>0,解得t.>2二、选择题(总题数:9,分数:),B为n阶可逆矩阵,,P,使得为对角矩阵21为对角矩阵Q,使得,.存在正交矩阵BQ21-,使得P(A+B),Q,使得PAQ=B(分数:).√D..,选DP,Q,使得PAQ=B]因为A,B都是可逆矩阵,所以A,B等价,即存在可逆矩阵解析:[????*)(分数:.√一定是满秩为正定矩阵,则A的特征值都是正数,A不对;若A解析:[解析]A正定的充分必要条件是A既不是充分条件不对;C是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数,不能保证都是正数,B矩阵,;)(分数:,,则该二次型为正定二次型二次型的标准形不唯一,但规范形是唯一的√.-1TT-1规范形相同,但标准形不一定相同,即使是合同,所以XAX与XAX]解析:[解析因为A与A同一个二次型也有多种标准形,,)(分数:√,,BX=0同解方程组AX=(A)=r(B)√.r(A)=r(B),选D[解析:解析]因为P可逆,,,)(分数:(A)=r(B)B.|A|=|B|B~√,的正负惯性B合同,则A,B合同,反之若A,B解析:[解析]因为A,B与同一个实对称矩阵合同,则A,与合同,选DA,,从而,(分数:)√:[解析]由|λE-A|=0得A的特征值为1,3,-5,由|λE-B|=0得B的特征值为1,1,-1,所以A与B合同但不相似,,B为三阶矩阵,且特征值均为-2,1,1,以下命题:(1)A~B;(2)A,B合同;(3)A,B等价;(4)|A|=|B|中正确的命题个数为______.(分数:)√:[解析]因为A,B的特征值为-2,1,1,所以|A|=|B|=-2,又因为r(A)=r(B)=3,所以A,B等价,但A,B不一定相似或合同,选B.)(分数:())的特征值.(分数:设λ为A0T(1).证明:)特征值相等;(分数:与A__________________________________________________________________________________________()正确答案:TTTAE-A||=|λE-A|][解析:证明因为λ|=|(E-A)λ,,A(2).;(分数:+2A+3E)_______________