立体几何基础题题库六.doc

立体几何基础题题库六(有详细答案)-中,AB=2,,M、N分别是AD、DC的中点. (1)证明∥; (2):(1)∵∥∥,==,∴是平行四边形,∴AC∥,又MN∥AC,因此,MN∥. (2)由(1),△中,,.,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,得到四边形EFGH. (1)四边形EFGH是______________; (2)当对角线AC=BD时,四边形EFGH是______________; (3)当对角线满足条件______________时,四边形EFGH是矩形; (4)当对角线AC、BD满足条件_______时,:(1)由三角形中位线定理可知EFAC,HGAC,于是EFHG,故四边形EFGH为平行四边形; (2)当AC=BD时,由EF=AC,EH=BD,得EF=EH,即平行四边形EFGH的邻边相等,故平行四边形EFGH为菱形; (3)要使平行四边形EFGH为矩形,⊥FG,则AC⊥BD; (4)要使平行四边形EFGH为正方形,需且只须AC⊥BD,且AC=BD;,试研究以下问题: (1)在平面内,过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?图9-17 (2)在一个平面内,过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢? (3)在一个平面内,与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间,与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?解析:(1)在一个平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;在空间也如此. (2)在一个平面内,过一点(该点可在直线上,也可在直线外)有且只有一条直线与已知直线垂线;在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直,这无数条直线在过已知点的一个平面上(以后可知该平面与直线垂直). (3)在一个平面内,与已知直线成60°角的直线有无数条,这无数条直线平行,且都与已知直线相交;在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角,-18,已知P为△ABC所在平面外一点,PC⊥AB,PC=AB=2,E、F分别为PA和BC的中点. (1)求证:EF与PC是异面直线; (2)EF与PC所成的角; (3):(1),则直线PE、CF共面a,则A∈a,B∈a,于是P与A、B、C共面于a,这与已知“P是平面ABC外一点”. (2)取PB中点G,连结EG、FG,由E、F分别是线段PA、BC中点,有EGAB,GFPC∴∠GFE为异面直线EF与PC所成的角,∠EGF是异面直线PC与AB所成的角,∵PC⊥AB,∴EG⊥GF,即∠EGF=90°.∵PC=AB=2,∴EG=1,GF=1,故△EFG是等腰直角三角形,∴∠GFE=45°,即EF与PC所成的角是45°. (3)由(2)知Rt△EGF中EG=1,GF=1,∠EGF=90°,∴EF=-19,在棱长为a的正方体ABCD—中,O是AC、BD的交点,E、-19 (1)求异面直线与所成角的大小; (2)求异面直线EF与所成角的大小; (3)求异面直线EF与所成角的正切值; (4):(1)∵∥AC,∴与AC所成的锐角或直角就是与所成的角,连结、,在△和△,∵=,,,∴△≌△,∴.∴△是等腰三角形.∵O是底边AC的中点,∴,故与所成的角是90°. (2)∵E、F分别是AB、AD中点,∴EF∥BD,又∵∥AC,∴AC与BD所成的锐角或直角就是EF与所成的角.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∴EF与所成的角为90° (3)∵EF∥BD,∴为异面直线EF与所成的角.∵四边形是正方形,∴,∴在Rt△中,,==,∴,即EF与所成角的正切值为. (4)∵EF∥BD,BD⊥AC,∴EF⊥AC,设交点为G.∵⊥AC(由(1)知)于O,则AC是异面直线EF与的公垂线,OG的长即为EF与间的距离,由于G是OA中点,O是AC中点,且,∴,, ①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线. ②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________. (把符合要求的命题序号都填上)解析:②.①的逆命题为:空间四点中若任何三点都不共线,. ②的逆命题为:若两条直线是异面