08级二期b卷解答.docx

08级二期b卷解答.docxy>0,求g《y)・y3-xsin(xy)如3y2cosy〉 1cos77^五x「侮小题7分,共28分)2•设函数g(沪J;3=-1•:sing)dx+3沁1-2JJy y 2y3 34 ? 4 9_cosy cosy2 cosycosy-= F3 yy y2y仃sinx 2JJ dxdy,其中D是由y=f,y=0,x=,r>fksinxfri解”—旳。—"(/sinxdx=fx〃(一cos兀)二一xcosxJ0+-•阶常微分方程~r=~ 2・ax2x-ydx2x-y22解方程改写为—= ,D=-xcosx* 4 7+3cosycosy2/y2y3cos>?43cosy2•+[cosxdxJo0=sin1-,①把x看作y的函数, dx_2先解方程〒二—无,分离变量,得—=_dy,ayy xy}nx=2Iny+lnC,艮卩x=Cy2./ 2用常数变易法冷兀=C(y)b,则—+2C(y)y,代入①,得c\y)y2=-\y)=-y~\C(y)=-lnCy,于是原方程的通解为x-~y21°(10分)设曲线积分/=L^y2dx+y(p{x)dy与路径无关,其中函数(p(x)连续可导且久0)=0,求函数0(无)汉设l为曲线y=^2009上从点o(o,o)到a(i,i)的弧段,求如上曲线积分/・解p=Xy2,Q=y(p(x\因为积分与路径无关,故必有=歹0(兀),即得(P(兀)=2兀(pm=x+G由于0(°)=°,得C—0,故(p{x)=x2.=^xy2dx+x2ydy=xy2dx+^ydy=£xy2dx+^ydy+^xy2cbc+x2ydyri 1=0+^ydy=-・三.(10分)级数曲面积分/= -xz)dydz+(x3+yz)dzdx-4y2dxdy,其中s+面z=丁4一兀2—)/,:z=0为辅助平面,=,辺3R解S*+A7 =7 ,dy,dz-xz)dydz+(x3+yz)dzdx-4y2cbcdy,山对称性=JJJ(4x3-z+z+0W=/= -xz)dydz+(x3+yz)dzdx-4y2dxdys+=fl(/一xz)dydz+(x3+yz)dzdx-^y2dxdy,A+-4JJy2dxdy=一町jr2sin2Ordrd0--\+ ' °J_2y‘+y=]+K,四.(10分)求解初值问题:|皿、宀“、r(y(0)=2,y(0)="一2 +y=°・ 特征方程为重根&二入=1, 故通解为 y二(C]+C2x)ex・对非齐次方程y^-2y'+y=l.①可设特解为y=C,代入①,得c="一2y'+y=e\②因1是二重根,可设特解为y=Cx2e\代入②,得C=*,即得特解为y=*»・于是,原方程的通解为X2+1•⑵Jo7aX-解(1)因0帀必发散,故瑕积分lim. XT+sVX3-X+1异亍而无穷积分[六・(10分)求幕级数乙/ 「、的收敛半径和收敛域,+1)解I-lim仏=lim ——"Too% "Toon(Z?+1)由丁(0)=2,得(7]==(C}+C2x+—)ex+(C2+2x)ex得y(o)=C,+C2=2,得X