线性空间与子空间及线条风景写生.doc

第一讲线性空间线性空间的定义及性质[知识预备]★集合:笼统的说是指一些事物(或者对象)组成的整体集合的表示:枚举、表达式集合的运算:并(),交()另外,集合的“和”(+):并不是严格意义上集合的运算,因为它限定了集合中元素须有可加性。★数域:一种数集,对四则运算封闭(除数不为零)。比如有理数域、实数域(R)和复数域(C)。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是学****现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。线性空间的定义:设是一个非空集合,其元素用等表示;是一个数域,其元素用等表示。如果满足[如下8条性质,分两类](I)在中定义一个“加法”运算,即当时,有唯一的和(封闭性),且加法运算满足下列性质(1)结合律;(2)交换律;(3)零元律存在零元素o,使o;(4)负元律对于任一元素,存在一元素,使o,且称为的负元素,记为()。则有o。(II)在中定义一个“数乘”运算,即当,时,有唯一的(封闭性),且数乘运算满足下列性质(5)数因子分配律;(6)分配律;(7)结合律;(8)恒等律;[数域中一定有1]则称为数域上的线性空间。注意:1)线性空间不能离开某一数域来定义,因为同一个集合,如果数域不同,该集合构成的线性空间也不同。(2)两种运算、八条性质数域中的运算是具体的四则运算,而中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。(3)除了两种运算和八条性质外,还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然,封闭性还需要证明,出现不封闭的情况:集合小、运算本身就不满足。当数域为实数域时,就称为实线性空间;为复数域,就称为复线性空间。设={全体正实数},其“加法”及“数乘”运算定义为xy=xy,证明:是实数域R上的线性空间。[证明]首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性①唯一性和封闭性 唯一性显然 若x>0,y>0,,则有xy=xy封闭性得证。②八条性质(1)x(yz)=x(yz)=(xy)z=(xy)z(2)xy=xy=yx=yx(3)1是零元素x1=[xo=x——>xo=x->o=1](4)是x的负元素x=[x+y=o](5)(xy)xy[数因子分配律](6)(x)(x)[分配律](7)[结合律](8)[恒等律]由此可证,是实数域R上的线性空间。定理:线性空间具有如下性质零元素是唯一的,任一元素的负元素也是唯一的。如下恒等式成立:o,。[证明](1)采用反证法:①零元素是唯一的。设存在两个零元素o1和o2,则由于o1和o2均为零元素,按零元律有[交换律]o1+o2=o1=o2+o1=o2所以o1=o2即o1和o2相同,与假设相矛盾,故只有一个零元素。②任一元素的负元素也是唯一的。假设,存在两个负元素和,则根据负元律有o=[零元律][结合律][零元律]即和相同,故负元素唯一。(2)①:设w=0x,则x+w=1x+0x=(1+0)x=x,故w=o。[恒等律]②:设w=(-1)x,则x+w=1x+(-1)x=[1+(-1)]x=0x=o,故w=-x。线性相关性线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。•线性组合:称为元素组的一个线性组合。•线性表示:中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合,则称x可由该元素组线性表示。•线性相关性:如果存在一组不全为零的数,使得对于元素有则称元素组线性相关,否则称其线性无关。线性相关性概念是个非常重要的概念,有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。线性空间的维数定义:线性空间中最大线性无关元素组所含元素个数称为的维数,记为。本课程只考虑有限维情况,对于无限维情况不涉及。×n阶实矩阵的集合构成一个实线性空间(对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算),求其维数。[解]一个直接的方法就是找一个最大线性无关组,其元素尽可能简单。令Eij为这样的一个m×n阶矩阵,其(i,j)元素为1,其余元素为零。显然,这样的矩阵共有mn个,构成一个具有mn个元素的线性无关元素组。另一方面,还需说明元素个数最大。对于任意的,都可由以上元素组线性表示,——>即构成了最大线性无关元素组,所以该空间的维数为mn。线性空间的基与坐标基的定义:设V是数域K上的线性空间,是属于V的r个任意元素,如果它满足(1)线性无关;(2)V中任一向量x均可由线性表示。则称为V的一个基,并称为该基的基元素。•基正是V中最大线性无关元素组;V的维数正是基中所含元素的个数。•基是不唯一的,但不同的基所含元素个数相等。考虑全体复数所形成的集合C。如果K=C(复数域),则该集合对复数加法和复数复数的乘法构成线性空间,其基可取为1,空间维数为1;如果取K=R(实数域),则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间,其基可取为{1,i},空间维数为2。数域K两种运算基一般元素空间