基本不等式全题型.doc

题型1 基本不等式正用a+b≥2例1:(1)函数f(x)=x+(x>0)值域为________;函数f(x)=x+(x∈R)值域为________;函数f(x)=x2+:(1)∵x>0,x+≥2=2,∴f(x)(x>0)值域为[2,+∞);当x∈R时,f(x)值域为(-∞,-2]∪[2,+∞);(2)x2+=(x2+1)+-1≥2-1=1,当且仅当x=:(1)[2,+∞)(-∞,-2]∪[2,+∞)(2)[1,+∞)4.(2013·期中)若x>1,则x+:x+=x-1++1≥4+1=-1=,即x=:5[例1] (1)已知x<0,则f(x)=2++x的最大值为________.(1)∵x<0,∴-x>0,∴f(x)=2++x=2-.∵-+(-x)≥2=4,当且仅当-x=,即x=-2时等号成立.∴f(x)=2-≤2-4=-2,∴f(x)的最大值为-:当x>0时,则f(x)=:(1)∵x>0,∴f(x)==≤=1,当且仅当x=,即x==(x>1):∵x>1,∴x-1>0.∴y=====x-1++2≥2+2=2+-1=,即x=1+时,:2+>0,a为大于2x的常数,求y=-:y=+-≥2-=-.当且仅当x==-x的最小值为-.题型2 基本不等式反用≤例:(1)函数f(x)=x(1-x)(0<x<1)的值域为__________;(2)函数f(x)=x(1-2x):(1)∵0<x<1,∴1-x>0,x(1-x)≤2=,∴f(x)值域为.(2)∵0<x<,∴1-2x>(1-2x)=×2x(1-2x)≤·2=,∴f(x):(1) (2)3.(教材****题改编)已知0<x<1,则x(3-3x):由x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×=,当且仅当3x=3-3x,即x=:=:x=≤=.<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为( )A. B. C. ∵0<x<1,∴1-x>0.∴x(3-3x)=3x(1-x)≤32=.当x=1-x,即x= >0,a为大于2x的常数,求函数y=x(a-2x)的最大值;解:∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=×2x(a-2x)≤×2=,当且仅当x=时取等号,:>0,则函数y=∵t>0,∴y==t+-4≥2-4=-2,且在t=-2例:当x>0时,则f(x)=:∵x>0,∴f(x)==≤=1,当且仅当x=,即x=:(1)求函数f(x)=+x(x>3)的最小值;(2)求函数f(x)=(x>3)的最小值;思维突破:(1)“添项”,可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值.(2)“拆项”,把函数式变为y=M+的形式.(1)∵x>3,∴x-3>0.∴f(x)=+(x-3)+3≥2+3==x-3,即x=4时取等号,∴f(x)的最小值是5.(2)令x-3=t,则x=t+3,且t>0.∴f(x)==t++3≥2+3==,即t=1时取等号,此时x=4,∴当x=4时,f(x):当式子不具备“定值”条件时,常通过“添项”达到目的;形如y=(a≠0,c≠0)的函数,一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y=t+(p为常数)型函数,要注意t的取值围;例:设x>-1,求函数y=x++6的最小值;解:∵x>-1,∴x+1>0.∴y=x++6=x+1++5≥2+5=9,当且仅当x+1=,即x=1时,取等号.∴当x=1时,>0,y>0,且x+y=18,>0,y>0,则x+y≥2,所以xy≤2=81,当且仅当x=y=9时, ,y∈R+,且满足+=1,∵x>0,y>0且1=+≥2,∴xy≤= 36.(2013·期中)已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,:∵12=4x+3y≥2,∴xy≤:>0,n>0,且mn=8