第十一讲研究生入学试题选讲.docx

第十一讲研究生入学试题选讲.docx。判断题:⑴设{兀}为实数列,若仇}不趋于无穷大,则此}必存在收敛的子列。(正确)证明:因为{兀}不是无穷大,所以对N|=1, >N、,xth<B,对N2=2,3/z0>Nr,x”£B, 9对M=k^nk>Nk,\xnk\<B9 9从而得到{xn}的一个收敛的子列{乙},由致密性定理{乙}有收敛的子列{暫」,即{兀}存在收敛的子列。⑵设函数f(x)在非空开区间***@4内有连续导数,则Vg丘(°,/?),玉|,无G(«,/?),X,13)=广(§)o~ 一旺_吃(不正确)反例:设/(X)=X3a(-1,1)内有连续导数,歹=0丘(一1,1),广@)=0,但VXj,€(-1,1),%!H无2, ~~ =~=X:+X]X2+丘H0。_ _xt-x2xt-x2 ~ '⑶设函数/⑴在区间10,1]上有定义,且极pglim-Y/C-)存在,则此时"TSfl=fl/⑴在[0,1]上可积,且f/(x)Jx=lim-y/(-)o(不正确)o i几 n反例:[LxeQ k 1召 kfM=DM=n;,/(—)三1,—工/(—)三1->"Ta),但[0,x^Q n n [0,1]上不可积。8(4)设函数级数工fn(x)在有限区间Iu(-2,+oo)上一致收敛,且n=l8 8工伉⑴I收敛,则工I九(兀)|在/上必一致收敛。(不正确)n=l n=l反例:令%(x)=x"一严,bn(x)=(一1)",£(x)=an(x)bn(x),xg[0,1]o[0,1],lima”(x)=0,max|cz„(x))= ,“Ts xe[0J]1 〉Z?+1=>sup\an(x)-0|=sup (1一一)T()(/?T00)xeioj] xe[oj]n+1n+1所以,{an(x)}在[0,1]上一致收敛于零。又对于固定的xe[0,l],{6Z„(x)}单调减少;<1,k=08由狄里克莱判别法,工九⑴在[0,1]"=0伉+3IAWI-致收敛。XVXG[0,1),伉(兀)|=xn(l-X),8 00 00£(1)=0,所以工伉(兀)|在[0,1]收敛。但工庞⑴卜工*(1-兀)在/:=0 //=0 /:=00 jt=1[0,1]非一致收敛。事实上,它的和函数5(x)=<9 “’在[0,1]不1,"[0,1)连续,所以,它在[0,1]非一致收敛。⑸设(X,d)为一个度量空间,4uX为一个非空集合,A为闭集的充要条件是V兀eX,若d(x,A)=inf{J(x,a)\aeA)=0,(正确)证明:必要性:设A为闭集,则A=)o现用反证法。若3xgX,d(x,A)=inf{d(x,a);aeA}=0,但 由下确界定义,V£〉O,%o$人〃(圮。0)又A为闭集且x^A,所以r/(x,6?0)>0o取=1,3axeA,0<J(x,6Z1)<£,1=1/取6=min|d(x,q),f弓。2wA,0v〃(兀,。?)<6-取£=min”(x,%“eA,0<t/(x,«„)<6;<-,从而得一数列{an},anTx(n->oo),nHm=>an丰am。所以,x为A的聚点,即,与假设矛盾。所以假设不成立,即有X/xwX,若d(x,A)=inf{d(x,a);aw4}=0,:VxgAd,则3{an}uA,anTx(nToo),从而有0<J(x,A)=inf[d(x,a)\awA]<d(x,an)―>0(〃―>oo),所以,f/(x,A)=0,由条件,xeA=>A"czA,所以人为闭集。(1) liman,其中+Jl+・・.+VF,n重根号。解:务=1卫2=Vl+Vl=V2,---,tzn+1=Jl+a“,…易证匕}单调增加有上界2,所以极限存在。设\man=l,则在递推"T8式中令斤TOO,得,l=y/\+i,由极限保号性,解得占(2)lim(^2+y2)->0〉=rcos/lim(厂丁曲20rHsin2fcos2/_|^2?4sin2rco$2fInr_^0_j广tO03y=rsin/A?:lim(x2+y2)xy=y->(兀)在[a,+QO)二阶可微,且f(a)>0,广⑷〉0,当兀〉a时,fn<0证明:方程/(x)=0在[d,+e)内有唯一实根。/(兀)在[a,〃]上可积,且j|/(x)^A-=O,证明:在/⑴的a连续点处有/(x)=0o"1 (i-^Fr(p>o)的敛散性。铝护 n~6•设“心)满足「詰+話7作满足d(p6屮dudvd(pdi//<dvdu的变换证明:此时也有先先y=V/(l^V),且满足△u=也+也+也=0,则称"二讥兀,y,z)为该区域内的调和函数。dx2dy2dz证