高考热点题型圆锥曲线中的探索性问题.doc

高考热点题型圆锥曲线中的探索性问题【必备知识】,化为关于的二次方程,即为,,得,注意对分(对应于直线与对称轴平行)与(对应于直线与对称轴不平行):与圆锥曲线相交所得弦长=.【技巧点拨】解答圆锥曲线中探索性问题,一般可分为以下步骤:(1)假设结论成立;(2)以假设为条件,进行推理求解;(3)明确规范结论,若能推出合理结论,经验证成立即可肯定正确;若推出矛盾,即否定假设;(4)回顾反思解题过程.【典例展示】【题型一】探索直线、曲线间的位置关系问题【例1】已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于,两点,直线与直线交于点.(Ⅰ)若垂直于轴,求直线的斜率;(Ⅱ)试判断直线与直线的位置关系,并说明理由.【解析】(Ⅰ)因为过点且垂直于轴,所以可设,.,.(Ⅱ):当直线的斜率不存在时,由(Ⅰ),,,,,,,,直线与直线平行.【思维导图】(Ⅰ)由条件设出坐标→写出直线方程→联立求得点的坐标→求的斜率;(Ⅱ)作图预判→分与轴是否垂直解答→与轴垂直时在(Ⅰ)基础上可证→与轴垂直时,设出直线方程与两点坐标→确定方程并与联立得点的坐标→直线方程代入椭圆方程得二次方程→结合韦达定理求的斜率→判断结果.【特别点拨】:,半径为,圆与椭圆有一个交点为,分别是椭圆的左、右焦点.(Ⅰ)求圆的标准方程;(Ⅱ)若点的坐标为,试探究斜率为的直线与圆能否相切,若能,求出椭圆和直线的方程;若不能,.【解析】(1)由已知可设圆的方程为,将点A的坐标代入圆的方程,得,即,解得或.∵,∴,∴圆的方程为.(2)依题意,可得直线的方程为,,则,,直线与轴的交点横坐标为,不合题意,,直线与轴的交点横坐标为-4,∴,∴由椭圆的定义得∴,即,.直线能与圆相切,直线的方程为,椭圆E的方程为.【题型二】探索与平面图形形状相关的问题【例2】设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,过点与垂直的直线交轴负半轴于点,且恰是的中点,若过三点的圆恰好与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于两点,在轴上是否存在点,,求出的值;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆的半焦距为,由为线段中点,,所以三点圆的圆心为,,,故所求椭圆方程为;(2),则,∴,∴的中点,由于菱形对角线互相垂直,则,∴,,且的值为.【思维导图】(1)由条件知在中可得→由直线与圆相切可得的值→求得椭圆的方程;(2)联立直线与椭圆方程得二次方程→结合韦达定理求的中点坐标→:,焦点在轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当直线的斜率为1时,求的面积;(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出的取值范围;若不存在,.【解析】(Ⅰ)由已知,,且短轴长为2,.(Ⅱ)因为直线过椭圆右焦点,且斜率为1,,解得,所以.(Ⅲ)假设在线段OF上存在点,使得以MP,,,因为,,所以,因为以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,所以MN⊥PQ,,所以,整理得,,所以,所以.【题型三】探索与平面图形面积相关的问题【例3】已知椭圆的离心率为,短轴长为.(1)求椭圆的方程;(2)若是椭圆上的两个动点,为坐标原点,的斜率分别为,问是否存在非零常数使时,的面积为定值?若存在,求的值;否则说明理由.【解析】(1)∵,∴,∴椭圆的方程为:;(2)假设存在这样的常数使时为定值,设直线的方程为:,,,消去得:.由韦达定理得:,,∴,,所以,=要使上式为定值,只需,得,,此时,即,故存在非零常数,此时.【思维导图】(1)由离心率与短轴长求得→写出椭圆方程;(2)假设存在这样的常数使时为定值→设出直线的方程→代入椭圆方程联立得二次方程→由结合韦达定理得的关系→点到直线距离公式求得的高→