考研级数典型例题完美版讲析.doc

常数项级数内容要点概念与性质(一)概念由数列构成的式子称为无穷级数,,,则称级数收敛,.(二)性质1,若收敛,则2,若,收敛,则3,级数增减或改变有限项,,若级数收敛,(收敛的必要条件),若收敛,则注意:,则不一定(三)两个常用级数1,等比级数2,级数二,正项级数敛散性判别法比较判别法设均为正项级数,且,则收敛收敛;发散发散极限判别法如果,则发散;如果对,,若交错级数收敛性判别法莱布尼兹判别法:设为交错级数,如果满足:1,2,,,但发散,,、主要内容1、基本概念函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列一致收敛性的判断:(1)定义:用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性(2)Cauchy收敛准则:用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断(3)确界(最大值方法):(4)估计方法:(5)Dini-定理:条件1)闭区间;2)连续性;3)关于的单调性注、除Cauchy收敛准则外,都需要知道极限函数,因此,在判断一致收敛性时,一般应先利用点收敛性计算出极限函数。注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同,定义方法通常处理抽象的对象,估计方法是确界方法的简化形式,估计方法处理较为简单的具体的对象,确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计,通常用于处理具有一般结构的具体的函数列,也可以用于非一致收敛性的判断。注、Dini定理中,要验证的关键条件是关于n的单调性,定理中相应的条件为“对任意固定的x,作为数列关于n是单调的”,注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系,上述条件也可以改为“存在N,当n>N时”条件成立即可,但是,要注意N必须是与x无关的,即当n>N时,对所有任意固定的x,关于n单调,因此,此时的单调性也称为对n的单调性关于x一致成立。非一致收敛性的判断(1)定义(2)Cauchy收敛准则(3)确界法:存在,使得不收敛于0(4)和函数连续性定理(5)端点发散性判别法:在c点左连续,发散,则在内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时,按照使用时的难易程度,可以按如下顺序使用相应的方法进行判断:端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy收敛准则。B、函数项级数一致收敛性的判断(1)定义(2)Cauchy收敛准则(3)转化为函数列(部分和)(4)余项方法:一致收敛于0(5)几个判别法:W-法,Abel法,Dirichlet法,Dini-法经典例题例1判断级数(1);(2):(1)=收敛(2).(1);(2);(3):(1)由于(,而收敛故由比较判别法可知级数收敛.(2)由于(,而发散,由比较判别法可知级数发散.(3)由于,而发散,:(1);(2)解:用比值判别法(1)故收敛;(2)(1);(2):(1)由于,故由极限判别法可知级数发散.(2)?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?解:由茉布尼兹判别法可知与均收敛,,,而发散,故由比较判别法可知发散,,用比较判别法判别下列级数的敛散性.(1)(2)(3)(4)2,用比值判别法判别下列级数的敛散性.(1)(2)(3)3,用极限判别法判别下列级数的敛散性.(1)(2)4判断下列级数是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)(2)(3)(4)[答案:1,(1)收敛(2)收敛(3)收敛(4)发散2,(1)收敛(2)收敛(3)收敛3,(1)发散(2)收敛4,(1)条件收敛(2)绝对收敛(3)绝对收敛(4)条件收敛]:由于=所以,收敛半径收敛区间为当时,原级数为收敛;当时,:不难求得收敛域为设和函数为即,逐项求导,,再积分,便得,:当时,原级数=发散,故收敛域为====:由于故=,练****题1,求下列幂级数的收敛半径与收敛域.(1)(2)(3)(4)2,求下列幂级数的收敛域及和函数.(1)(2)(3)3,将下列函数展为的幂级数(1)(2)(3)(4)[答案:1,(1)(2)(3)