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考研数学冲刺班高等数学与微积分主讲:汪诚义第一章函数、极限、连续§、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)(1):奇偶函数常遇到;对称性质不可忘。(a,b)内,若,则单调增加若,则单调减少口诀(2):单调增加与减少;先算导数正与负例1求解是奇函数,∵是奇函数,∵因此是奇函数。于是。本文档由知识社分享 例2设,则下列结论正确的是(A)若为奇函数,则为偶函数。(B)若为偶函数,则为奇函数。(C)若为周期函数,则为周期函数。(D)若为单调函数,则为单调函数。解(B)不成立,反例(C)不成立,反例(D)不成立,反例(A)成立。证明为奇函数,所以,为偶函数。例3设,是恒大于零的可导函数,且,则当时,下列结论成立的是(A)(B)(C)(D)解∵,∴单调减少于是x<b,则有,故(A)成立。二、,,求例1、已知和求解:例2、已知,且,求解:令,则,因此于是,§、(量)仍是无穷小(量);;。例1求解原式例2设当x→0时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小,而xsinxn是比高阶的无穷小,则正整数n等于(A)1(B)2(C)3(D)4解:由题意可知,4>n+1>2,∴n+1=3,n=2选(B)例3设,则当x→0时,是的()(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小解选(C)二、有关两个准则准则1单调有界数列极限一定存在。准则2夹逼定理。例1设,证明存在,并求其值。解∵我,(几何平均值≤算术平均值)用数学归纳法可知n>1时,,∴有界。又当n>1时,,,,则单调增加。根据准则1,存在把两边取极限,得(舍去)得,∴。口诀(3):递推数列求极限;单调有界要先证;两边极限一起上;方程之中把值找。例2求。解令,则0<xn<yn,于是,由夹逼定理可知,于是原极限为0。三、有关两个重要公式公式1、公式2、例1求。解当x=0时,原式=1当x≠0时,原式==例2设在内可导,且,,求c的值。解:则拉格朗日中值定理,有其中ξ介于(x-1)与x之间,那么于是,e2c=e,2c=1,则口诀(4):函数之差化导数;拉氏定理显神通。四、用洛必达法则求极限洛必达法则主要处理七种待定型极限:“”型,“”型,“0·∞”型,“∞-∞”型,“1∞”型,“00”型和“∞0”型口诀(5):待定极限七类型,分层处理洛必达。第一层次:直接用洛必达法则“”型用洛必达法则Ⅰ“”型用洛必达法则Ⅱ第二层次:间接用洛必达法则“0·∞”型例变为“”型“∞-∞”型例变为“”型第三层次:间接再间接用洛必达法则“1∞”型,“00”型,“∞0”型均为形式而称为冪指函数,比较复杂。口诀(6):冪指函数最复杂;指数、对数一起上。,而上面三种类型化为,这时一定是“0·∞”型再用第二层次的方法处理即可例=例1求。解原式=======例2设函数连续,且,求解原式=(分母令)=(用积分中值定理)=(ξ在0和x之间)=.口诀(7):变限积分是函数;遇到之后先求导。公式:(当连续时)例3高a>0,b>0常数,求解先考虑它是“”型。令令型=因此,于是,。口诀(8)离散数列“洛必达”;先要转化连续型。五、求分段函数的极限例求。解∴口诀(9):分段函数分段点;左右运算要先行。六用导数定义求极限例设曲线与在原点相切,求