2011考研数学三真题与答案.docx

2011年考研数学三真题一、选择题(18小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)已知当时,与是等价无穷小,则(A)(B)(C)(D)【答案】C。【解析】【方法一】(洛必达法则)(洛必达法则)()由此得。【方法二】由泰勒公式知则故。【方法三】故综上所述,本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则已知在处可导,且,则(A)(B)(C)(D)0【答案】B。【解析】【方法一】加项减项凑处导数定义【方法二】拆项用导数定义由于,由导数定义知所以【方法三】排除法:选择符合条件的具体函数,则而对于,显然选项(A)(C)(D)都是错误的,故应选(B)【方法四】由于在处可导,则综上所述,本题正确答案是B。【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数和微分的四则运算设是数列,则下列命题正确的是若收敛,则收敛。若收敛,则收敛。若收敛,则收敛。若收敛,则收敛。【答案】A。【解析】若收敛,则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述,本题正确答案是A。【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件设,则的大小关系为(A)(B)(C)(D)【答案】B。【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小,由于当时,又因为为上的单调增函数,所以,故即综上所述,本题正确答案是B。【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质设为3阶矩阵,将第2列加到第1列得矩阵,再交换的第2行和第3行得单位矩阵,记,,则(A)(B)(C)(D)【答案】D。【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵,矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵按题意,从而,从而所以【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换,初等矩阵设为矩阵,是非齐次线性方程组的3个线性无关的解,为任意常数,则的通解为(A)(B)(C)(D)【答案】C。【解析】因为是非齐次线性方程组的3个线性无关的解,那么是的2个线性无关的解。从而即显然,因此由于知(A),(B)均不正确。又,所以是方程组的解综上所述,本题正确答案是C。【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系,非齐次线性方程组的通解设与为两个分布函数,其对应的概率密度与是连续函数,则必为概率密度的是(A)(B)(C)(D)【答案】D。【解析】判断函数是否为概率密度,一般地说有两种常用方法:(1)满足是概率密度的充要条件和(2)或者,而为分布函数由于与为两个分布函数,显然也是分布函数,而综上所述,本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计—多随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质,连续型随机变量的概率密度设总体的服从参数为的泊松分布,为来自该总体的简单随机样本,则对于统计量和,有(A)(B)(C)(D)【答案】D。【解析】,所以,,相互独立均服从可求得而,所以综上所述,本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念—常见随机变量的分布,总体个体,简单随机样本二、填空题(914小题,每小题4分,共24分。)设,则。【答案】。【解析】综上所述,本题正确答案是。【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的四则运算设函数,则。【答案】。【解析】由,可得所以综上所述,本题正确答案是。【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算曲线=在点处的切线方程为。【答案】。【解析】方程=两端对求导得将代入上式,故所求切线方程为【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数和隐函数的微分法,平面曲线的切线与法线曲线直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为。【答案】【解析】由旋转体公式得综上所述,本题正确答案是。【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用设二次型的秩为1,的各行元素之和为3,则在正交变换下的标准形为。【答案】【解析】的各行元素之和为3,即所以是的一个特征值。再由二次型的秩为1是的2重特征值。因此正交变换下标准形为综上所述,本题正确答案是。【考点】线性代数—二次型—二次型的秩,用正交变换和配方法化二次型为标准形设二维随机变量服从正态分布,则。【答案】。【解析】服从正态分布所以与相互独立,且==综上所述,本题正确答案是。【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质三、解答题:小题,共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。求极限.【解析】【方法一】(等价无穷小代换)(洛必达法则)(极限为非零常数的因子极限先求)(洛必达法则)=【方法二】(等价无穷小代换)(分子有理化)【考点】高等数学—函