2003-2017考研数学二真题与解析.docx

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1))若函数在处连续,则()(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】在处连续选A.(2)设二阶可导函数满足且,则()【答案】B【解析】为偶函数时满足题设条件,此时,排除C,,则,选B.(3)设数列收敛,则()当时,当时,当时,当时,【答案】D【解析】特值法:(A)取,有,A错;取,排除B,.(4)微分方程的特解可设为(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】特征方程为:故特解为:选C.(5)设具有一阶偏导数,且对任意的,都有,则(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】是关于的单调递增函数,是关于的单调递减函数,所以有,故答案选D.(6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线(单位:),虚线表示乙的速度曲线,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位:s),则()(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲,则,当时满足,故选C.(7)设为三阶矩阵,为可逆矩阵,使得,则()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】,因此B正确。(8)设矩阵,则()(A) (B)(C) (D)【答案】B【解析】由可知A的特征值为2,2,1,因为,∴A可相似对角化,即由可知B特征值为2,2,,∴B不可相似对角化,显然C可相似对角化,∴,、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)曲线的斜渐近线方程为_______【答案】【解析】(10)设函数由参数方程确定,则______【答案】【解析】(11)_______【答案】1【解析】(12)设函数具有一阶连续偏导数,且,,则【答案】【解析】故,因此,即,再由,可得【答案】【解析】(13)【答案】.【解析】交换积分次序:.(14)设矩阵的一个特征向量为,则【答案】-1【解析】设,由题设知,、解答题:15—23小题,、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限【答案】【解析】,令,则有(16)(本题满分10分)设函数具有2阶连续偏导数,,求,【答案】【解析】结论:(17)(本题满分10分)求【答案】【解析】(18)(本题满分10分)已知函数由方程确定,求的极值【答案】极大值为,极小值为【解析】两边求导得:(1)令得对(1)式两边关于x求导得(2)将代入原题给的等式中,得,将代入(2)得将代入(2)得故为极大值点,;为极小值点,(19)(本题满分10分)设函数在区间上具有2阶导数,且,证明:方程在区间内至少存在一个实根;方程在区间内至少存在两个不同实根。【答案】【解析】(I)二阶导数,解:1)由于,根据极限的保号性得有,即进而又由于二阶可导,所以在上必连续那么在上连续,由根据零点定理得:至少存在一点,使,即得证(II)由(1)可知,,令,则由罗尔定理,则,对在分别使用罗尔定理:且,使得,即在至少有两个不同实根。得证。(20)(本题满分11分)已知平面区域计算二重积分。【答案】【解析】(21)(本题满分11分)设是区间内的可导函数,且,点是曲线L:上任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点,法线与x轴相交于点,若,求L上点的坐标满足的方程。【答案】【解析】设的切线为,令得,法线,令得。由得,即。令,则,按照齐次微分方程的解法不难解出,(22)(本题满分11分)设3阶矩阵有3个不同的特征值,且。证明:若,求方程组的通解。【答案】(I)略;(II)通解为【解析】(I)证明:由可得,即线性相关,因此,,即A的特征值必有0。又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,,则可设其对角矩阵为∴(II)由(1),知,即的基础解系只有1个解向量,由可得,则的基础解系为,又,即,则的一个特解为,综上,的通解为(23)(本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准型,求的值及一个正交矩阵.【答案】【解析】,其中由于经正交变换后,得到的标准形为,故,将代入,满足,因此符合题意,此时,则,由,可得A的属于特征值-3的特征向量为;由,可得A的属于特征值6的特征向量为