考研数学高数重要知识点.docx

考研数学高数重要知识点摘要:从整个学科上来看,高数实际上是围绕着、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算,我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后,再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题,比如会计算以后:那么我们就能解决函数的连续性,函数间断点的分类,导数的定义这些问题。这样一梳理,整个高数的逻辑体系就会比较清晰。函数部分: 函数的计算方法很多,总结起来有十多种,这里我们只列出主要的:四则运算,等价无穷小替换,洛必达法则,重要,泰勒公式,中值定理,夹逼定理,单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述,考生可以自己回顾一下,不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。接下来,我们来说说直接通过定义的基本概念: 通过,我们定义了函数的连续性:函数在处连续的定义是,根据的定义,我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算。然后是间断点的分类,讨论函数间断点的分类,需要计算左右。再往后就是导数的定义了,函数在处可导的定义是存在,也可以写成存在。这里的式与前面相比要复杂一点,但本质上是一样的。最后还有可微的定义,函数在处可微的定义是存在只与有关而与无关的常数使得时,有,其中。直接利用其定义,我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的,它们都强于函数在该点连续。以上就是这个体系下主要的知识点。导数部分: 导数可以通过其定义计算,比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候,我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些:四则运算,复合函数求导法则,反函数求导法则,变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容,但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的,所以我们就把它归到求导法则里面了。能熟练运用这些基本的求导法则之后,我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算:隐函数求导,参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难,但计算量比较大,需要考生有较高的熟练度。然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用:切线,单调性,极值,拐点。每一部分都有一系列相关的定理,考生自行回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点,考试在考查这一块时主要有三种考法: ①求单调区间或证明单调性; ②证明不等式; ③讨论方程根的个数。同时,导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外,数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。积分部分: 一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分,其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分,我们主要掌握它的计算方法:第一类换元法,第二类换元法,分部积分法。这三种方法要融会贯通,掌握各种常见形式函数的积分方法。熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下,考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面:会用定积分的定义计算一些简单的;理解微元法(分割、近似、求和、取)。至于可积性的严格定义,考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质,这中间我们就提醒考生注意两个定理:积