高等代数习题课指导讲义.doc

高等代数习题课指导讲义.doc高等代数****题课指导高等代数****题课是在各章小单元授课基础上,帮助学生疏理相应小单元基础知识而设立的以练为主、讲练结合的教学形式,使学生进一步理解己授知识的重点,帮助学生克服学****中的难点,因而是整个课程教学的基本环节之一。教学中应明确目的,把握全局,突出练****以提高****题课的教学质量****题课1矩阵的运算与可逆矩阵(2学时)教学目的通过2学时的****题课教学实践,使学生进一步理解、掌握矩阵运算及其可逆矩阵的基础知识与基本方法,把握矩阵证题的基本技巧。基础提要略述(结合课堂练****题的解释,点述主要概念、相关定理及其基本方法)。课堂练****1计算AB,BA,AB-BA,其中2设A,B,CeM/?(F).证明,若AB=BAfAC=CAf则A(8+C)=(8+C)人;A(BC)=(BC)=(与)qM〃(F),A的主对角元素。“,雄,…,。〃〃的和以力•叫做4的迹,i=,BwMJF),证明:Tr(A+8)=TrA+TrB; 2)Tr(kA)=kTrA,keF;3)Tr(A8)=Tr(BA); 4)AB~BA/〃(R),且4=证明,若妒=0,则A==B+C机遇wM^F),其中B,=B,C'=-:1)A'A=AA';2)BC=CB;3)(F),且A2+A+In=,A可逆;并求A"7设是对合矩阵,即尸=/〃,且人。±/〃.证明:1)A是可逆矩阵,并求/.2)/〃+A与九-,B,Ce/WJF).证明:若A非奇异,贝^]AB=AC=>B=C;若A奇异,则1)的结论未必成立(举例说明).9设AeMn(F)可逆,且入-1=(如)卜求(%4尸,(Q.(幻(玲@)(R).证明若以下三命题有两个成立,则其第三个也成立:i)A是对称矩阵;2)A是对合矩阵;3)、复****建议****题课2行列式的概念及其计算(2学时)教学目的通过本****题课的教学实践,提高学生对行列式定义、性质、定理及其应用的认识,把握行列式的计算。基础提要略述(类似****题课一的处理)。课堂练****1已知204,527和255都能被17整除,利用行列式的定义、性质(不计算)证明下面行列式也能被17整除:2设A=(勺)伸£虬(F),求这里j{,2…j„(£)是区间[角Z?]上的可微函数,i,j=l,2,…,〃・证明:\7\7/IX/?£力£出\7Vd一出zwcdhaVxx+wy+z^x-wy-za+dh+cui-dh-c5证明,A-XYf0=t京&这里A=(%),”,£仇(F),X'=W,/=!J=1乂2,…,工〃),Yf=(Vi,光,…,y〃),%:1)0…0a2…0"I="2…);;=1%2)1+"]I+。211+%…11+an〃1=白]白2…。〃(1+£—)./=1%应用Vandermonde行列式计算下列行列式:下列行列式:X2—a2b}咿1。出2。步3…a\hn。2奶…a2hna3b2工3…a3bn1—4。20…0工_)'1>20…0-11—G9。3...0-X工_),2方...00•-「•1一。3....0•;2)0.--)‘3....0.........•..•.••.000…L000.••)'〃000…1F000…工一)'〃计算下列行列式:1)10设A=(aij)nneMn(F).证明:1)an+xan+x…a}n+xa2l+xa22+x・..a2n+xnn=|a|+x££a〃;/=1j=\其中人〃如§3所示;为〃+xo〃2+x…q,〃+x课外建议结合练****讲评提出相应补缺、复****的建议****题课3行列式的应用与矩阵的秩(1学时)教学目的通过一学时•的****题课教学实践,增进学生对行列式在矩阵基础应用中的认识及其证题能力。基础提要略述(类似****题课一的处理)。课堂练****1设A=(%)g,若i>j(i<j)时都有向=0,则称A是一个上(下):1) 两个上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵;2) 可逆的上(下)三角矩阵的逆阵也是上(下)(F).证明,存在非零矩阵B£M〃(F),使曲=0的充分且必要条件为141=,归〃gC).证明:l)adjA=adjX 2)adj(屈)=皆一】(adjA),虹C3) adj(A,)=(adjA)L 4)若A非奇异,则adj(A-l)=(adjA)_,.4设AeMJF),n>:l)ladjAI=IAI〃T; 2)adj(adjA)=EI"-"".若ran!M=m(〃),则称A是行(列),A是行(列)满秩矩阵的充分且必要条件为存在〃㈣阶可逆矩阵Q(P