数学建模飞机加油.doc

空中加油问题的研究翔,汤泓,镒箫摘要本文研究的是不同条件下的飞机空中加油的最佳方案。问题1:时,要求主机的作战半径,通过基本的计算,总结出了三个规律:①辅机接、送主机的效果实质是等价的②送出主机时辅机逐架返回且接回主机时辅机逐架出发可使得作战半径最大③当为主机前进服务和为主机返回服务的辅机数尽量均衡时,主机的作战半径最大。求得:。问题2:首先,讨论了在问题1的加油规则下关于的表达式。然后,给出了方案2:将辅机和主机两两配对,将配对对象推送航程后使其满油后返回,使得作战半径上限突破方案1的限制。最后,给出了当时,与的渐近表达式:方案1n为偶数时,;n为奇数时,方案2通过递归算法求出,并总结出了最优作战方案的必要条件。问题3:证明辅机重复飞行时相当于增加了一倍的辅机,计算出时主机的作战半径,。分析了大于4时方案2可节约的辅机数,得出了趋于无穷时与的渐近关系。问题4:先确定基地在一条直线上,建立以作战半径最大为目标函数,飞机数目为约束的数学模型并求解分情况讨论。问题5:在前面研究的基础上,结合图形分析,得出最快达到并返回的作战方案所需要的飞机数为6560架辅机;对于最小辅机数量的方案,讨论了四种路径,解出最小辅机数的方案所需的辅机数为120架。关键词:辅机接送方案;递归分析;最优化方法;图形分析。一问题的重述对飞行中的飞机进行空中加油,可以增大受油机的航程,增加有效载重,提高远程作战能力。设为空军基地,基地有一架作战飞机和架加油机。主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数,油箱装满油后的最大航程均为(公里)。辅机可以对主机加油,辅机之间也可以相互加油。今主机要执行某作战任务(如侦察或空投),所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。主机的最大作战半径(简称作战半径)是指主机在架辅机的协助下所能飞到的(并安全返回)离基地的最远距离。显然当时,作战半径。为了求解出最优作战方案,需要知道辅机的数目和所有飞机的作战方案,即主机与辅机、辅机与辅机之间如何配合:在什么地点加油,加多少油,使所有的飞机均能安全返回基地且付出的代价最小。我们需要解决以下问题:问题1设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计,每架飞机只能上天一次,在上述假设下的作战半径记为。当时,求作战半径。问题2在问题1的假设下,当时,尽你的可能求出(提示:先假设辅机可以分为两类,第一类专为主机前进服务,第二类专为主机返回服务,再考虑一般情形),或给出的上、下界;讨论当的过程中与n的渐近关系;试给出判断最优作战方案(主机能够飞到处)的必要条件或充分条件。问题3若每架辅机可以多次上天,辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行的时间,飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计,此时的作战半径记为,讨论与问题1、问题2类似的问题。问题4若另有2个待建的空军基地(或航空母舰),有架辅机,主机从基地起飞,向一给定的方向飞行,必须在基地降落,辅机可在任一基地待命,可多次起飞,且可在任一基地降落。其他同问题3的假设,讨论的选址和主机的作战半径。问题5设为矩形,,,为三个空军基地,主机从起飞,到执行任务(执行任务时间仍忽略不计)再返回。假设辅机起飞、降落的基地可任意选择,其他同问题3的假设,试按最快到达并返回和最少辅机数目两种情况给出你的作战方案。二问题分析本文要求出辅机数目一定条件下主机所能达到的最远距离,这就要求找出最佳的辅机加油方案,并对不同方案进行对比选择。问题1给定辅机的具体数目,只需要通过手工计算就可以得出最大作战半径,手动计算的同时总结出一些规律。问题2利用在解决问题1时总结的规律,推导出抽象的辅机数目所对应的最大作战半径。对模型进行评价找出其不足之处,进行改进。时,将关于n的表达式中的所有小项忽略,即得到与的渐近关系。问题3飞机可多次上天意味着为达到相同的作战半径可以节省辅机的数量。通过对具体数字的计算发现可以将所有辅机用于送出主机,同时这批主机可以及时接到返回的主机,接下来通过一般化的证明证实了这个结论。问题4先确定三个基地的位置关系,再假设各个基地的辅机数,推导出主机最大作战半径和各个基地辅机数的函数关系,利用最优化方法求出在辅机总数一定的限定条件下主机的最大作战半径。问题5在效益比最高的作战思想指导下,显然需要使参加辅机架数最少来达到同样的作战目的。主机飞行路线不一定是直线。根据以上的分析,第五问可以转换成对主机从A点出航,按唯一确定的L路线到达C点按原路线返回的讨论,关键是求解L路线和辅机架数。,不会发生故障;;,空间足够大,即不会发生碰撞;,能容纳无穷多的飞机。四符号说明表示为主机前进服