南开大学03年数学分析答案.doc

南开大学03年数学分析答案一、设w=f(x+y,x-y,x)其中f(x,y,z)有二阶连续偏导数,求wxy:令u=x+y,v=x-y,z=x则解wx=fu+fv+fz;wxy=fuu+fuv(-1)+fvu+fvv(-1)+fzu+fzv(-1)二、设数列{an}非负单增且liman=n→∞1nnnn+a2++an]a,证明lim[a1n→∞=a1nnn解:因为an非负单增,故有an≤[a1+a2++an]n由1nn≤(nan)n→∞liman=a;据两边夹定理有极限成立。⎧xαln(1+x2),x0f(x)=⎨试确定α的取值范围,使f(x)分别满足:0,x≤0⎩三、设(1)极限x→0+limf(x)存在(2)f(x)在x=0连续(3)f(x)在x=0可导解:(1)因为x→0+limf(x)42nxxα2α2++(-1)n-1+o(x2n)]极限=limxln(1+x)=limx[x-x→0x→02n++存在则2+(2)因为α≥0知α≥-2x→0-limf(x)=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则α-2(3)‘(0)=0所以要使f(x)在0可导则α-1f-22f(x+y)xdx+ydy与积分路径无关⎰l四、设f(x)在R连续,证明积分解;令U=x2+y2则⎰lf(x2+y2)xdx+ydy=f(x2+y2)xdx+ydy1f(u)du又f(x)在R上连续故存在F⎰l2(u)使dF(u)=f(u)du=所以积分与路径无关。(此题应感谢小毒物提供思路)四、设f(x)在[a,b]上可导,a+bf()=02且f‘(x)≤M证明⎰证:ba因Mf(x)dx≤(b-a)24f(x)在[a,b]可导,则由拉格朗日中值定理,存在即有a+ba+bξ∈(a,b)使f(x)-f()=f‘(ξ)(x-)22⎰babf(x)dx=baa⎰f‘(ξ)(x-a+b)dx2a+ba+ba+ba+bMb‘2≤⎰f(ξ)(x-)dx≤M[⎰a(-x)dx+⎰a+b(x-)dx]=(b-a)222242六、设{an}单减而且收敛于0。∑ansinn发散(1)证明∑ansinn收敛明(2)证