南京工业大学线性代数江浦A答案.doc

南京工业大学线性代数江浦A答案南京工业大学线性代数试题(A)卷试题标准答案2009--2010学年第一学期使用班级一、填空题(每题3分,共15分)⎛-12-1⎫⎪2n-1/3(2)-A(3)-1(4)3(5)0,-24-2⎪(1)-2-36-3⎪⎝⎭二、选择题(每题3分,共15分)(1)C(2)A(3)C(4)B(5)A三、(12分)解:1x2x2xnxn―――――――――――――――5分Dn=(∑xi-m)i=1n11x2-mxn-m1x2n0-m=(∑xi-m)i=100=(-m)n-1nxn――――――――――――――――――10分-m(∑xi-m)―――――――――――――――――――――――――12分i=1四(12分)解:由矩阵方程AB+A=36E+6B可得AB-6B=36E-A即(A-6E)B=-(A-6E)(A+6E)(1)―――――――――6分-1又|A-6E|≠0,A-6E可逆,方程(1)两边左乘(A-6E)可得――――8分2200⎫⎛-70⎪-2-900⎪――――――――――12分B=-(A+6E)=00-110⎪1-50-13⎪⎪⎝⎭五(12分)解:以α1,α2,,α5为列构成矩阵A,对A施行初等行变换将其化为行最简形。⎛1-1A=2⎝4⎛1r2-3r0r4-230⎝0[1**********]1021⎫r2+r1⎪1-1⎪r3-2r152r4-4r1⎪60⎭⎛100⎝0⎛100⎝001003100031221103312-2312-1⎫⎪0⎪⎪0⎪⎭4⎛100⎝0010031000-0-10⎫1⎪⎪1⎪1⎪0⎭321⎫⎪r2r3000⎪r3r41101⎪-r30-4-4⎭1⎫⎪0r2-r31⎪r1-2r3⎪0⎭――――――――――――――――――――――――――――――――――――6分故R(α1,,α5)=3,―――――――――――――――――――――――――――8分其一个极大线性无关组为α1,α2,α4且α3=3α1+α2,α5=α4-α1-α2――――――12分1六、(13分)解:系数行列式-11k1k1=(k+1)(4-k)-12由克莱姆法则得,当k≠-1,且k≠4时,方程组有唯一解。――――――—4分当k=-1时,对方程组的增广矩阵进行初等行变换⎛11-14⎫⎪(A,b)→0-238⎪,r(A)=2≠r(A,b)=3,方程组无解―――8分0005⎪⎝⎭⎛1030⎫⎪当k=4时,(A,b)→0114⎪,原方程组的通解0000⎪⎝⎭X=k(-3,-1,1)T+(0,4,0)T,其中k为任意常数。―――――――――――――13分⎛200⎫⎪七(16分)解:二次型的矩阵为A=031⎪―――――――――――――4分013⎪⎝⎭00⎫⎛2-λ⎪203-λ1=-(λ-2)(λ-4)矩阵A的特征方程为fA(λ)=A-λE=⎪013-λ⎪⎝⎭故矩阵A的特征值为λ1=λ2=2,λ3=4,当λ1=λ2=2解方程组(A-2E)X=0即⎛000⎫⎛x1⎫⎛0⎫⎛1⎫⎪ç⎪⎪⎪0-1-1x=0η=-1,η=0⎪;――――――10分,解之得212⎪ç⎪⎪⎪000⎪çx⎪0⎪⎝⎭⎝3⎭1⎭⎝⎭⎛0⎫⎪1⎪。当λ3=4时,解方程组(A-4E)X=0,解之得η3=1⎪⎭令Q=(η122。η2η3),作X=QY即为正交变换,其标准型为2y12+2y2+4y3―――――――――――――――――――――――――――――――――――13分3)因为矩阵的特征值都是正的,故该二次型为正定二次型.―――――――――16分八、证明:由A=4E可得(A+2E)(A-2E)=0,从而R(A+2E)+R(A-2E)≤n。――――――――――――――2分另一方面,