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三明学院刘墨德化二次型为标准形的方法探讨8荐.doc


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三明学院刘墨德化二次型为标准形的方法探讨8荐.doc
文档介绍:
三明学院刘墨德化二次型为标准形的方法探讨8荐.doc化二次型为标准形的方法探讨(三明学院数学与计算机科学系,福建三明3650()4)摧j要:文章提供了四种化二次型为标准形的方法,即配方法、正交变换法、合同变换法、Jacobi方法.关键词:对称矩阵;二次型;正交变换;合同变换SomeDiscussesofTurnQuadraticFormIntoStandardFormLIUMo-de(puterScince,Samnin^College,Sanmin^365004,China)Abstract:Thispaperprovidesfourkindsofmethodsforthetransformingquadraticformintostandardform,namely,pletingsquare,orthogonaltransformationmethod,contragradienttransformationmethodandJacobimethod.Keywords:symmetrymatrix;quadraticform;orthogonaltransformation;contragradienttransformation任何一个二次型都可以通过非退化的线性变换化为标准形,这个问题不仅在数学上,而且在物理学、工程学、经济学等领域中都是一个重要的问题.本文将探讨化二次型为标准形的常用方法.1预备知识定义设P是数域,系数属于P的n个未知量知邑,…,气的二次齐次多项式/(f"2,…,匕)=。房+2%2中2+•°•+2。"冉+ +…+2%尤2七+…+annXn=£ayxixj (气=。亓)称为数域p上的〃元二次型.寸1任何一个二次型y(xpx2,---,x/f)= (1一1)i,j=l都可以写成如下形式f(为,易,…,*〃)=尤1(。1/1+。12易+・・・+“1〃*〃)+X2(a2\X\+。22易+••.+%,/〃)+•••+儿(。〃内+。〃2易+•••+%〃◎,f的系数可以确定一个,邛介矩阵a\\ a\2 …a\ni ^97•••A=" -,由于%=%(Lj=L2,・・,■),••••••••••••<〃l % …ann>所以Ar=A,即矩阵4是对称矩阵.'"ll"12 …a\n定义1.241矩阵A=%’ …"%称为二次型••••••••••••an2…amt)/(如易,…,七)=aijxixi(%=%)的矩阵,A的秩叫做二次型/«],知・・・,匕)的秩.i,j=l由于〃阶对称矩阵A=(%)〃&与二次型f(X,,A,•••,)=^aijxixj(t7..=%.)i,j=l对应,因此可以通过对二次型的矩阵的研究来研究二次型.a2lxt+a22x2+--+a2nxn若记X=(勺易,…,xj,则式(1-1)可用矩阵的记号写成如下形式:/(工|,工2,.・.,工〃)=(为,工2,・・.,工〃)(%内+%见+•.•+%/"在本文中,将一个〃元二次型表为f(xl9x29--9xfl)=XtAX时,都要求A是对称矩阵.定义1.3[4]二次型,=4,|2+扁力2+••,+々,「 (1一2)叫做数域P上n元二次型的标准形.显然标准形(1-2)的矩阵是对角矩阵X、dUgS,%,...,々)= "・定义1.4[4]P是数域,勺邑,…,玉和)"%•••,)'〃是两组未知量,线性关系式叫=勺】)']+勺2)'2+・.・+勺〃)'〃(1-3)工2=勺])']+七2)'2+一・+勺〃月C'l2C22未知量WF到M,%,..•,.*的一个线性变换.系数矩阵称为变换(1-3)的矩阵.如果|C|^0,那么称(1-3)n)性变换.利用矩阵相乘与相等的概念,变换(1-3)可写作/、'。11 C\2 …/、% 。22 …C2ny2...•••••••••♦♦♦...4C. Cd …C\n\ n2 nn7v\?/或X=CY、1、/、<cllC]2…了2...,丫=...,c=%♦♦♦。22♦••…s•♦♦•••V\^7fl7&…Cnn)其中X研究如何通过非退化线性变换X=CY将二次型/'(羽,易,•••,儿)化为标准形+4力2+—卜A;yfl2是本文主旨.引理1.1[,6]设如…,垃=xFx是数域p上一个〃元二次型.那么,二次型/(叫,易,•••,◎经非退化线性变换(1-3)后,可化为关于)、力,•••,)'〃的二次型妃乂。'2,…,儿)=K『BK并且B=CrAC定义1.5[1]设A,B是数域P上两个〃阶方阵,如果存在P上一个〃阶可逆矩阵C,使B=CtAC,那么称A合同于B.引理1.2[,⑴A合同于A.如果A合同于B,那么B合同于A.如果A合同于B,B合同于C,那么A合同于C.⑷如果A合同于B,那么秩(A)=秩(B).定义1.6⑵如果矩阵A经一系列初等变换化为 内容来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.