114函数展开成幂级数0910知识讲解.ppt

114函数展开成幂级数0910知识讲解.ppt§、泰勒级数上节例题:一般地,对于已知函数f(x),是否存在幂级数使得在其收敛域内以f(x)为和函数?,an的表示式是什么???问题:定理1:如果函数f(x)在U(x0)内具有任意阶导数,且在U(x0)内能展开成(x–x0)的幂级数,,当x0=:泰勒级数在收敛区间内是否收敛于f(x)?即?=0点处任意阶可导,且f(n)(0)=0(n=0,1,2,···),则该函数的麦克劳林级数为其在(-,+)内收敛于和函数s(x),除x=0外,f(x)的麦克劳林级数处处不收敛于f(x).二、(泰勒级数法)步骤:(1)讨论f(x)的各阶导数是否存在,并求f(n)(x0).(2)形式地写出泰勒级数:(x0–R,x0+R)满足(3)讨论在区间或|f(n)(x)|M,则例1:将函数f(x)=。例2:将函数f(x)=(-,+).例3:将函数f(x)=(1+x)(R)(-1,1),但对具体情况需作具体分析.[–1,1](–1,1]其中(2n)!!=2·4·6·····(2n);(2n-1)!!=1·3·5·····(2n–1),利用常见函数的已知展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,:将函数f(x)=(-,+).例5:将函数f(x)=arctanx展开成麦克劳林级数.[–1,1].又例如:x(–1,1]时(即展开成(x–1)的幂级数),并求f(n)(1).例6:将函数f(x)=在x=1处展开成泰勒级数例7:将函数f(x)=在x=、;(直接法,间接法).