高等工程数学笔记.doc


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高等工程数学笔记第一部分矩阵理论(矩阵分析)第一章线性空间与线性变换一、:含有非零数的数集F,F中四则运算封闭即,有常见数域:有理数域Q,实数域R,复数域C其他数域:整数集Z不是数域数域特点:,F是一个数域,V中元素定义了两种运算①加法②数乘即,有唯一与之对应;,有唯一与之对应,并且满足:(1),有(2),有(3)V中存在零元θ,使得,总有(4),使得,记(称为α的负元)(5),,有(6),有(7),有(8)则称集合V为数域F上的一个线性空间。.(1)V称为F的线性空间(2),V也构成F上的线性空间例2.(1)V构成F上的线性空间(2)=,令={数域F上关于t的次数小于n的多项式或零多项式},则V中零元θ一定存在而且唯一,则α的负元一定存在而且唯一,则为讨论方便,把线性空间V的元素称为广义向量。二、:设V是数域F上的一个线性空间,是V的一个广义向量组。又,若存在一组F中的数,使得,则称β可由线性表示,或称β是的一个线性组合。如果存在F中一组不全为0的数,,使得,则称线性相关,否则称线性无关。线性无关若,则特别,当S=1时,线性相关,=C[-π,π]中,(1)线性相关,取k1=1,k2=-1,k3=-1,(2)1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cos3x…,V=R[t]3中(1)1,t,t2线性无关(2)t+1,t2-2t,t2+t+=R2×2中(1)线性无关(2)定理1:(S>1)线性相关中至少有一个可由其余广义向量线性表示。定理2:,则β可由线性表示。:设V是数域F上的一个线性空间,是V的一个广义向量值。如果满足,则称是V的一个基(基底或基组)n——称为V的维数,记为dimV==R2×2中,是V的一个基,又,可证β1,β2,β3,β4也线性无关也是V的基。定理3:设V是数域F上的一个线性空间,是V的一个基若也是V的一个基,则s=n若V中的广义向量组线性无关,则也是V的基若s>n,则V中任一广义向量组一定线性相关说明:(1)有些线性空间可能没有基,例如V={θ},认为dimV=0(2)有些线性空间的基含有无穷多个广义向量,(2)又例V=R[t]={实数域R上的关于t的多项式的集合},1,t,t2…tn是基。,设,表示成,称向量为α在下的坐标。例:线性关系中例3,α在下的坐标为基与维数的例1,α在下的坐标为三、基变换与坐标变换设V是一个n维线性空间(n>1),与是V的两个基,并设←基变换公式形式分块矩阵记C=(Cij)n×n,称C是V中从到的过渡矩阵可证明:(1)C可逆(2)即从到的过渡矩阵为C-1又设,且,,即与分别是α在与下的坐标,可以证明坐标变换公式四、:设V是数域F上的线性空间,W是V的一个非空子集,如果W对于V的加法和数乘运算的构成数域F上的线性空间,则称W是V的一个子空间。=R2×2,F=R令二阶实对称矩阵二阶实对角矩阵可证,W1,W2,W3,W4都是V的子空间。不是V的子空间。定理1:设V是数域F上的线性空间,W是V的一个非空子集,则W是V的子空间W中两运算:①加法,②数乘均封闭,即;,(1)平凡子空间:{θ}与V都是线性空间V的子空间(2)交子空间:定理2:设W1与W2是V的两个子空间,则也是V的子空间(3)和子空间:定理3:设W1与W2是线性空间V的两个子空间,令,则W是V的子空间,记,称为和子空间。不一定是子空间(4)生成子空间定理4:设V是数域F上的一个线性空间,是V的一个给定广义向量组,令,则W是V的一个子空间,称为由生成的子空间,记为生成元定理5:设是V的两个生成子空间,则(1)极大无关组,的极大无关组可作W1的一个基。(2):设V是n维线性空间(n≥1),W1与W2是V的两个子空间,则dimW1≤n=dimV,dimW2≤n==(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4),α3=(-3,2,11,-1),β1=(1,0,0,1),β2=(1,6,3,3),令V1=L(α1,α2,α3),V2=L(β1,β2)(1)求dim(V1+V2)及V1+V2的一个基(2)求解:(1)对下列矩阵施行如下初等行变换∴r(A)=3∴r(α1,α2,α3,β1,β2

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  • 上传人ouyangxiahe
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  • 时间2020-05-27