线性代数提高讲义线代第四部分 线性方程组2006.1.doc

四、线性方程组线性方程组可表示为矩阵形式:=,也可表示为向量形式:当时,为齐次线性方程组;当时,为非齐次线形方程组。式中A=(),=(i=1,…,n)=,.(一)齐次线性方程组A=0,或对求齐次线性方程组,无论何种情况都有解,至少有=0解;(A)=n,或r()=n时,只有零解;(A)=r()=r<n时,有无穷多解;解集是n-r维向量空间,其基是基础解系:,通解可表示为=,是任意常数.(二)非齐次线形方程组=,或当秩,或r()r(,)时无解;,或r()=r(,)时有解;(1)当r(A)=r()=n时,有唯一根;(2)当r(A)=r()=r<n时,有无穷多解;通解为=+,是任意常数,其中(i=1,…,n-r)是对应齐次方程的基础解系,是非齐次方程的一个特解,解集不是向量空间。(三)、典型题目1、齐次方程组(1).a,b,c满足什么条件时,只有零解?(2).a,b,c满足什么条件时,有无穷多解?并求出之。2、齐次方程组,,,讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、有无穷多解?有无穷多解时,用基础解系表示全部解。3、非齐次方程组a,b为何值时,方程组有解,并求出所有解。4、齐次方程组,系数矩阵为A,若有三阶非0矩阵B使AB=0,则()(A)=-2,=0;(B)=-2,;(C)=1,=0;(D)=1,5、A是n阶矩阵,是n维列向量,若秩=秩(A),则线性方程组()(A)A=必有无穷多解;(B)A=必有唯一解;(C)仅有零解;(D)必有非零解6、设A是n阶矩阵,r(A)=n-1,代数余子式,求A=0的通解;(2)=0的通解。7、四元方程组A=中,r(A)=3,三个解集是,,,若=,=,、已知=,=,=是方程组的解,、A,B均为n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n,证明A=0与B=0有非零公共解。10