博士试题2011-矩阵论_最终版_矩阵论考试试题20分)已知F[t]3={f(t)=a0+a1t+a2t2|a0,a1,a2∈R}为所有次数一(小于3的实系数多项式所成的线性空间,对于任意的F[t]3中的元素f(t)=a0+a1t+a2t2,定义F[t]3上的线性变换T:T[f(t)]=(a1+a2)+(a2+a0)t+(a0+a1),t,t2下的矩阵A;(F[t]3)和核T−1(0)的维数;[t]3的一组基,使得线性变换T在这组基下的矩阵为对角阵?如果不可以,请说明原因。⎛101⎞⎛0⎞⎟,b=⎜1⎟,011二(20分)已知A=⎜⎜⎟⎜⎟⎜101⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠;;=b是否有解;=b的最小二乘解,并求其极小最小二乘解。⎛308⎞⎜3−16⎟A=(15)三分已知矩阵⎜⎟。⎜−20−5⎟⎝⎠,不变因子,初级因子;;。⎛−1−26⎞⎜⎟四(15分)已知A=⎜−103⎟。⎜−1−14⎟⎝⎠;。dt⎛121⎞⎜001⎟A=(10)五分求矩阵⎜⎟的QR分解。⎜121⎟⎝⎠T(V)⊆T−1(0)六(10分)设T是n维线性空间V上的线性变换,证明:的充要条件是T2=0。七(10分)设⋅是Cn×n上的F-范数。证明:若A<1,E为n阶单位阵,则矩阵E−A可逆,且11−1≤(E−A)≤。1−AE−A矩阵论参考答案一、(20分)1.(5分)T[1]=0⋅1−1⋅t+1⋅t2T[t]=1⋅1+0⋅t−1⋅t2T[t2]=−1⋅1+1⋅t+0⋅t2于是有------------------------------3分⎛011⎞⎟T(1,t,t2)=(1,t,t2)⎜101⎜⎟,故T在基下的矩阵都是⎜110⎟⎝⎠⎛011⎞⎟A=⎜101⎜⎟.-----------5分⎜110⎟⎝⎠2.(5分)因为矩阵R(A)=2可逆,故dimT(F[t]3)=dimR(A)=3从而有dimT−1(0)=3−dimT(F[t]3)=0------------------5分3.(10分)A的特征值为λ1=λ2=−1,λ3=2-------------2分⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟所对应的特征向量分别为ξ1=⎜−1⎟,ξ2=⎜0⎟,λ3=⎜1⎟--------7分⎜0⎟⎜−1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠令γ1=1−t,γ2=1−t,γ3=1+t+t,则其为F[t]3的一组基,且线性变换T在这组基下的矩阵为对角阵B=diag(−1,−1,2)。------------10分二、(20分,每一小题5分)22⎛101⎞⎛101⎞⎜⎟⎜⎟=⎜011⎟→⎜011⎟,所以满秩分解为⎜101⎟⎜000⎟⎝⎠⎝⎠⎛10⎞⎟⎛101⎞=BCλ=2,λ=λ=1A=⎜011.-----------------5分23⎜⎟⎜011⎟⎠⎜10⎟⎝⎝⎠⎛21⎞H⎛20⎞,BB=⎜=)(BB)=⎜⎟⎟⎝12⎠⎝01⎠+HH−1H−1HH⎛2−22⎞1⎟A+=⎜−14−1⎟------------------------5分6⎜⎜121⎟⎝⎠⎛1/2⎞⎜⎟+=⎜1⎟≠b--------------------
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