2.3.3等比数列的前n项和.docx

第42课数列的求和【自主学****第42课数列的求和(本课时对应学生用书第页)自主学****回归教材1.(必修5P57例3改编)数列1,2,3,4,…的前n项和为.【答案】+1-【解析】Sn=(1+2+3+…+n)+(+++…+)=+1-.2.(必修5P55练****4改编)求和:= .【答案】2101【解析】1+2+…+10=55,2+22+…+210=(k+2k)=.(必修5P68复****题2改编)已知数列{an}的通项公式为an=,那么数列{an}的前n项和为.【答案】-14.(必修5P68复****题13改编)数列的前n项和Sn= .【答案】【解析】=-,Sn=1-=.5.(必修5P68复****题12改编)数列的前n项和Tn= .【答案】3-【解析】由an=(n+1)·,得Tn=2×+3×+4×+…+(n+1) ①,Tn=2×+3×+4×+…+(n+1)× ②,由①-②,得Tn=1+++…+-(n+1)·=1+-(n+1)·=-.所以Tn=3-.(1)公式法:若可以判断出所求数列是等差或等比数列,,也不是等比数列,有时可直接运用常见的基本求和公式进行求和.(2)分组转化法:把数列的每一项拆成两项的差(或和),或把数列的项重新组合,使其转化为等差或等比数列.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项的差(或和),使求和时出现的一些正负项相互抵消,于是前n项和变成首尾两项或少数几项的和(差).(4)倒序相加法:把Sn中项的顺序首尾颠倒过来,“补”的思想,,如果一个数列倒过来与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项的和可求出来,那么这样的数列就可以用倒序相加法求和.(5)错位相减法:数列{anbn}的求和问题应用此法,其中{an}是等差数列,{bn}(1)形如an±bn的形式方法:分组求和法.(2)形如或等形式方法:采用裂项相消法.(3)形如anbn的形式(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)方法:采用错位相减法.(4)首尾对称的两项和为定值的形式方法:倒序相加法.(5)正负交替出现的数列形式方法:并项相加法.【要点导学】要点导学各个击破利用“分组转化法”求和例1 已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.【思维引导】(1)由Sn求an,需利用an=Sn-Sn-1(n≥2),最后要注意验证第一项是否符合公式;(2)由(1)可知bn为2n与(-1)n·n两数列之和,故采用分组求和的方法求解.【解答】(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n;当n=1时,a1=S1=1,{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)得bn=2n+(-1)n·n,记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+[-1+2-3+4-…-(2n-1)+2n]=22n+1-2+n.【精要点评】本题中bn是由一个摆动数列、一个等比数列相加而成,适用于分组求和,当一个数列是由两个不同类型的数列相加而成时,我们将它们分组、(2015·福建卷)在等差数列{an}中,已知a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.【解答】(1)设等差数列{an}=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n,所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)=+=(211-2)+55=211+53= (2014·苏州暑假调查)设数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*满足2Sn=an(an+1),且an≠0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设cn=}的前2n项和T2n.【解答】(1)因为2Sn=an(an+1), ①所以当n≥2时,2Sn-1=an-1(an-1+1). ②①-②得2an=-+an-an-1,即(an+an-1)(an-an-1-1)=-an-1-1=0,当n≥2时,有an-an-1=1,又当n=1时,由2S1=a1(a1+1)及a1≠0,得a1=1,所以数列{an}是等差数列,其通项公式为an=n(n∈N*).若an+an-1=0,an=综上,数列{an}的通项公式为an=n或an=(2)当an==所以T2n=(2+4+…+2n)+3×(21+23+…+22n-1)