§3.2厄米算符(讲稿)[精华].doc

§(讲稿)[精华]?,其本征问题的解可分为分立谱和A连续谱两种情况。ˆ分立谱:,A,(x),a,(x)n,1,2,3,?nnn例如无限深方势阱中粒子的哈密顿量为厄米算符,本ˆ征值问题的解为H,E,,nnn22,,2E,n,n,1,2,3,?n2ma2anx,(x),sin(),na2a*,(x),(x)dx1,,nn0ˆA,(x),,,(x)连续谱:,,例如动量是厄米算符,本征值问题的解为ˆp,(x),p,(x)xpp,,,p,,,1i,(x),exp(px)p,,,2,*,,(x,)(x)dx,,(p,p),,pp,,一、厄米算符的本征值为实数以连续谱为例证明ˆA,,,,,,ˆA因为厄米算符,则ˆˆ,(,A,),(A,,,),,,,*,(,,,),,(,,,),,,,*,,,二、厄米算符的本征波函数正交(,,,),0m,n分立谱:,当;mn,(,,,),0连续谱:,当(,,,,,,以连续谱为例证明ˆA,,,,,,ˆA因为厄米算符,则ˆˆ,(,A,),(A,,,),,,,,,,,(,,,),,(,,,),,,,,,所以,(,,,),0,当(,,,,,,如果把本征波函数归一化或归格化到函数,那么,厄米算符的本征波函数就构成一个正交、归一的函数系{,}分立谱:n,1,m,n,,,*(,),(x)(x)dx,,,,,,,,,mnmn,mn,,,0,m,n,{,}连续谱:,,,*,,(,,),,(x,)(x)dx,,(,,,),,,,,,,,,三、本征波函数构成完备集合1、分立谱情况可以证明:对于分立谱情况,厄米算符的本征波函数构成完备的函数系。ˆ设为厄米算符AˆA(x),a(x),,nnn任何一个满足适当边界条件和连续性要求的波函数{,(x)},均可作向展开,(x)n,(x),C,(x),nnn展开系数按下式计算:,,*C,,(,,),,(x),(x)dx,nnn,,,为证明上式,只要用与展开式两边作内积m(,,,),C(,,,),C,,C,,mnmnnmmn,nn综上所述:厄米算符的本征波函数构成一个正交、归一、完备的函数系。{,},正交、归一、完备的函数系基底n,,,{i,j,k}矢量代数中的基底:,C,(,,,),展开系数,态矢在基矢上的投影nnn,,,,AAi,,i矢量在基矢上的投影Ax{C},集合态矢在基底上的表示,{,}nn,,,,在基底上的表示A{i,j,k}{A,A,A}xyz,用展开系数表示态的归一化,ˆA(x),a(x),,nnn,(x),C,(x),nnn2(,,,),C,1,nn证明:2**1(,)(,),,,,CC,,,CC,,C,,,,,mnmnmnnmn,mnmnn2,C模方,态中包括的百分比,nnˆA,用展开系数表示在态上的平均值,ˆA,(x),a,(x)nnn,(x),C,(x),nnn2ˆA,(,,A,),Ca,nnn证明:,,ˆA,(,A)*ˆ,,,CC(,A),,mnmnmn*,,,CCa(,),,a,Ca,,,,,mnnnnm,nnmn2ˆaCA模方在态上测量所得结果中出现的概率,nnC展开系数概率幅nˆ{C}A概率幅的集合态在表象上的表示,n其实,概率幅在坐标表象上的表示而已~,,(x)合理的假定:在任意状态上对力学量进行测量,所有可能出现的测量值都是该力学量的本征值。ˆ