线性代数3.doc

★线性代数基本内容、方法及要求第一部分行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)(其中为阶方阵,为常数)5、行列式的常见计算方法:(1)利用性质化行列式为上(下)三角形;(2)利用行列式的展开定理降阶;(3)根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义,熟记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义,会求一个排列的逆序数。3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。4、会计算简单的阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则。第二部分矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法(公式法、初等变换法、分块对角阵求逆)。4、阶矩阵可逆为非奇异(非退化)的矩阵。为满秩矩阵。只有零解有唯一解的行(列)向量组线性无关的特征值全不为零。可以经过初等变换化为单位矩阵。可以表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法((1)定义法;(2)初等变换法)。7、矩阵的分块,分块矩阵的运算:加法,数乘,乘法以及分块矩阵求逆。【要求】了解矩阵的定义,熟悉几类特殊矩阵(单位矩阵,对角矩阵,上、下三角形矩阵,对称矩阵,可逆矩阵,伴随矩阵,正交矩阵)的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法,数乘,乘法,转置等运算法则,会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵,并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件,会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念,会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的概念,运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分向量组的线性相关性【主要内容】1、向量、向量组的线性表示:设有单个向量,向量组:,向量组:,则(1)向量可被向量组线性表示(2)向量组可被向量组线性表示(3)向量组与向量组等价的充分必要条件是:(4)基本题型:判断向量或向量组是否可由向量组线性表示?如果能,写出表达式。解法:以向量组:以及向量或向量组:为列向量构成矩阵,并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵,最终断定。2、向量组的线性相关性判别向量组的线性相关、线性无关的常用方法:方法一:(1)向量方程只有零解向量组线性无关;(2)向量方程有非零解向量组线性相关。方法二:求向量组的秩(1)秩小于个数s向量组线性相关(2)秩等于个数s向量组线性无关。(3)特别的,如果向量组的向量个数与向量的维数相同,则向量组线性无关以向量组为列向量的矩阵的行列式非零;向量组线性相关以向量组为列向量的矩阵的行列式为零。3、向量组的极大无关组的概念(与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系)及其求法。基本题型:判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念,知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义,并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系,会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、了解向量空间及其基和维数的概念。第四部分线性方程组【主要内容】1、齐次线性方程组只有零解系数矩阵的秩未知量个数n;2、、非齐次线性方程组无解增广矩阵秩系数矩阵的秩;4、非齐次线性方程组有解增广矩阵秩系数矩阵的秩特别地,1)增广矩阵的秩系数矩阵的秩未知量个数n非齐次线性方程组有唯一解;2)增广矩阵的秩系数矩阵的秩未知量个数n非齐次线性方程组有无穷多解。【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法,2、掌握非齐次线性方程组解的结构,熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分相似矩阵及二次型【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。(1)特征值求法:解特征方程;(2)特征向量的求法:求方程组的基础解系。5、相似矩阵的定义()、性质(相似、、有相同的特征值)。6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤,找到可逆矩阵P使得为对角矩阵。7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:(将实对称矩阵对角化)(1)写出二次型的矩阵.(2)求出的所有特征值(3)解方程组()求对应于特征值的特征向量(4)若特征向量组不正交,则先将其正交化,再单位化,得标准正交的向量组,记,对二次型做正交变换,即得二次型的标准形8、正定二次型的定义及其判定