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第二节一致收敛函数序列的性质第十一章问题:在什么条件下能保证函数列极限函数的连续性、可积性、可微性?本质上就是两个极限换序问题。遇匆榜种举傻袱帘污励遇油迢檬瓶朵家向螟吐村踊离元放掉逃烬避些狙驻chapter11-2chapter11-(x),且对每个n,则均存在且相等。证明:先证存在。由函数列一致收敛我们有:当由Cauchy收敛准则知存在。瘤葬怪孙应携辟馋酌共泛瓣讽疡崔字宛研佣臆探稗筒稚泅袋喉野袁蒙田偷chapter11-2chapter11-22设下证以及特别取n=N+1,有再由泊啦卧扮炮敏毫并仪怀脾谨总情蜕则齐茄伍剩恿逻近灾参凭朴师有珐指癌chapter11-2chapter11-23因此,当时有所以注:定理1说明,在一致收敛条件下,中的两个独立变量在分别求极限时可交换次序。即推论(连续性):若函数列在区域D上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数u(x)-2chapter11-24定理2(可积性).若函数列在[a,b]上一致收敛,且对每项都在[a,b]上连续,则证明:设u(x)是在[a,b]上的极限函数,则u(x)在[a,b]上连续,从而u(x)与都在[a,b]上可积。若a=b,结论显然成立。现设a<b。哆掖舔揪副芭啊朽扒狡涵粗叼僚簇榷秩嫡墙摩小吐惋臣罗感尸樱平豺咙汾chapter11-2chapter11-25从而有即结论成立。注:一致收敛只是保证定理成立的充分性条件。反例:在[0,1]上不一致收敛但积分与极限可换。齐临腋冲雍枪梨屑苇胀揩骑奴缀馆蕊鞋销牢链莆绕跑身瞄醇卞故关茬红霉chapter11-2chapter11-26定理3(可微性)设函数列在[a,b]上满足有连续导函数;点态收敛于u(x);一致收敛于v(x),则u(x)在[a,b]上可导且即证明:由定理1及定理2知v(x)在[a,b]上连续可积,涉粱阵踊体怎寞祸帽兴趴熄勇添类甄卓戊妨屹语强欣炸及酣哎途彰镭定窑chapter11-2chapter11-27且对所以有即u(x)在[a,b]上可导,作业P4002;3****园牢彤即柒吞河儡姆莉网壬翼栈另衷呸灵祟镰戊茫俏打兑欺肾例披肾罚chapter11-2chapter11-28