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趣味中的图形问题──图形的故事
七桥问题

现今的加里宁格勒,旧称哥尼斯堡,是一座历史名城。
哥城景致迷人,碧波荡漾的普累格河,横贯其境。在河的中心有一座美
丽的小岛。普河的两条支流,环绕其旁汇成大河,把全城分为下图所示的四
个区域;岛区(),东区(),南区()和北区()。有七座桥横跨普
累格河及其支流,其中五座把河岸和河心岛连接起来,这一别致的桥群,古
往今来,吸引了众多的游人来此散步!
早在世纪以前,当地的居民便热衷于以下有趣的问题:能不能设计一
次散步,使得七座桥中的每一座都走过一次,而且只走过一次?这便是著名
的哥尼斯堡七桥问题。
读者如果有兴趣,完全可以照样子画一张地图,亲自尝试。不过,要告
诉大家的是:想把所有的可能线路都试过一遍是极为困难的!因为各种可能
的线路不下于五千种,要想一一试过,谈何容易!
问题的魔力,竟然吸引了天才的欧拉( ,~)
公元年, 岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯
堡的七座桥》的论文,论文的开头是这样写的:“讨论长短大小的几何学分
支,一直被人们热心地研究着,但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分
支;莱布尼兹最先提起过它,称之‘位置的几何学’。这个几何学分支讨论
只与位置有关的关系,研究位置的性质,它不去考虑长短大小,也不牵涉到
量的计算,但是至今未有过令人满意的定义,来刻划这门位置几何学的课题
和方法,⋯⋯”
接着,欧拉运用他那娴熟的变换技巧,如同下图,把哥尼斯堡七桥问题
变为读者所熟悉的,简单的几何图形的“一笔画”问题:即能否笔不离纸,
一笔画但又不重复地画完以下的图形?
读者不难发现:右图中的点、、、,相当于七桥问题中的四块区域;
而图中的弧线,则相当于连接各区域的桥。
聪明的欧拉,正是在上述基础上,经过潜心研究,确立了著名的“一笔
画原理”,从而成功地解决了哥尼斯堡七桥问题。不过,要弄清欧拉的特有
思路,我们还得从“网络”的连通性讲起。
所谓网络,是指某些由点和线组成的图形,网络中的线弧都有两个端点,
而且互不相交。如果一个网络中的任意两点,都可以找到网络中的某条弧线,
把它们连接起来,那么,这样的网络就称为连通的。连通的网络简称脉络。
显然,上面的三个图中,图Ⅰ不是网络,因为它仅有的一条弧线只有一
个端点;图Ⅱ也不是网络,因为它中间的两条弧线相交,而交点却非顶点;
图Ⅲ虽是网络,但却不是连通的。而七桥问题的图形,则不仅是网络,而且
是脉络!
网络的点如果有奇数条的弧线交汇于它,这样的点称为奇点。反之,称
为偶点。
欧拉注意到:对于一个可以“一笔画”画出的网络,首先必须是连通的;
其次,对于网络中的某个点,如果不是起笔点或停笔点,那么,交汇于这样
点的弧线必定成双成对,即这样的点必定是偶点!
上述分析表明:网络中的奇点,只能作为起笔点或停笔点。然而,一个
可以一笔画画成的图形,其起笔点与停笔点的个数,要么为,要么为。于
是,欧拉得出了以下著名的“一笔画原理”:
“网络能一笔画画成必须是连通的,而且奇点个数或为,或为。
当奇点个数为时,全部弧线可以排成闭路。”
现在读者看到,七桥问题的奇点个数为。(见上图)。因而,要找到
一条经过七座桥,但每座桥只走一次的路线是不可能的!
下图画的两只动物世界的庞然大物,都可以用一笔画完成。它们的奇点
个数分别为和。
需要顺便提到的是:既然可由一笔画画成的脉络,其奇点个数应不多于
两个,那么,两笔划或多笔划能够画成的脉络,其奇点个数应有怎样的限制
呢?我想,聪明的读者完全能回答这个问题。倒是反过来的提问需要认真思
考一番:即若一个连通网络的奇点个数为或,是不是一定可以用一笔画
画成?结论是肯定的!并且有:“含有(>)个奇点的脉络,需要笔
划画成。”

迷阵之谜

请看有趣的英国伦敦的迷阵实图图。
图中为进出口,黑线表示篱笆,白的空隙表示通路。迷阵的中央处
有两根高柱,柱下备有椅子,可供游人休息。你能否从点进去,然后再从
点出来呢?也许读者认为这一迷阵并不复杂但倘若人身临其境,也难免要
东西碰壁,左右受阻,陷于迷津!
那么,迷宫之“谜”的谜底何在呢?让我们如同上节中七桥问题那样,
我们把该迷阵中所有的通路都用弧线表示出来,便能得到右图样的脉络。
现在的问题是:如何从点出发走到迷宫的中心;或从点回到入口
处?只是,从到的通路,并不像图那么笔直,实际上是弯弯曲曲回
回转转的。走的时候,稍不小心便会进入死胡同,或者在某范围打转转,甚
至于走回头路!
不过,有一种情况