2020届高考数学一轮复习第3章 第6节　正弦定理和余弦定理.doc

第六节正弦定理和余弦定理[考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理,===2R.(R为△ABC外接圆半径)a2=b2+c2-2bc·cos_A;b2=c2+a2-2ca·cos_B;c2=a2+b2-2ab·cos_C公式变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(3)sinA=,sinB=,sinC=cosA=;cosB=;cosC=△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>(1)S=a·ha(ha表示边a上的高);(2)S=absinC=acsinB=bcsinA;(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).△ABC中,A+B+C=π;变形:=-.(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;(2)sin=cos;(4)cos=△ABC中,sinA>sinB⇔A>B⇔a>b,cosA>cosB⇔A<B⇔a<=osBb=osAc=acosB+,任意两边之差小于第三边.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在△ABC中,若A>B,则必有sinA>sinB. ( )(2)在△ABC中,若b2+c2>a2,则△ABC为锐角三角形. ( )(3)在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B=45°或135°.( )(4)在△ABC中,=. ( )[解析] (1)>B⇔a>b⇔sinA>sinB.(2)=>0知,A为锐角,但△ABC不一定是锐角三角形.(3)<a知,B<A.(4)=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可知结论正确.[答案] (1)√(2)× (3)× (4)√2.(教材改编)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是( ) [由正弦定理,得=sinA,=sinB,=sinC,代入得到a2+b2<c2,由余弦定理得cosC=<0,所以C为钝角,所以该三角形为钝角三角形.]3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cosA=,则b=( )A. B. [由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3或b=-(舍去),故选D.]△ABC中,A=45°,C=30°,c=6,则a等于( ) [由正弦定理得=,所以a===6.]5.(教材改编)在非钝角△ABC中,2bsinA=a,则角B为( )A. B. C. [由2bsinA=a得2sinBsinA=sinA.∴sinB=,又B是锐角或直角.∴B=.]利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( ) B. C. (2)(2019·青岛模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A等于( )A. B. C. D.(1)A (2)C [(1)因为cos=,所以cosC=2cos2-1=2×-1=-.于是,在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC=52+12-2×5×1×=32,所以AB=.(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-osA=2b2-=2b2(1-sinA),所以sinA=cosA,即tanA=1,又A是三角形内角,则A=,故选C.][规律方法] 应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边:利用公式或其他相应变形公式求解.(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA=或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.(1)(2019·郑州模拟)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sinB+sinC)=(a-c)sinA,则角B的大小为( )° ° ° °(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,=,b=2,A=60°,则