微积分五讲-龚昇.pdf

微积分五讲龚昇目录前言一、、、、、、四月之间,根据陈省身教授的嘱咐,我在天津作了微积分的系统讲演,共16学时。2003年四月,我在丘成桐教授创办的浙江大学数学科学研究中心工作期间,又作了微积分的系统讲演,共10学时。这二次系统讲演,听众是大学生和一些大学教师,这本小书就是根据这二次系统讲演的讲稿及录像,整理而成的。这是一本科普书籍,因之,不求句句话都十分严格,而求通俗易懂。这本小书也实际上阐述了我对微积分这门学科及大学微积分这门课程的看法,其中有一些看法也许是新的,这当然是我个人的浅见,未必正确,说出来供正在学****或已经学过微积分的大学生及教微积分的教师们参考,并希望得到你们的批评。我要感谢陈省身教授,他对我的多次有关数学,尤其是微积分的谈话,使我深受教育,得益匪浅。我也要感谢南开大学刘徽数学研究中心及浙江大学数学科学研究中心,尤其是南开大学的葛墨林教授,浙江大学的许洪伟教授,尹永成教授,他们为我作这二次系统演讲及写作这本小书给予了极大的关心、帮助与支持。我还要感谢沈可美小姐为精心打印本书所付出的辛勤劳动。龚昇二00三年五月于杭州灵峰山庄1一、,这是一个伟大的世纪。在这个世纪,数学得到了前所未有的迅猛发展。在这个世纪即将来临时,1900年8月5日,法国数学家希尔伯特(DavidHilbert1862-1943)在巴黎第二次国际数学家大会上作了题为“数学【1】问题”的著名讲演。这是一个载入史册的重要讲演。他在讲演的前言和结束语中,对数学的意义、源泉、发展过程及研究方法等,发表了许多精辟的见解,而整个讲演的主体,则是他根据十九世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题。这些问题涉及现代数学的大部分重要领域。一百多年来,这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。到现在为止,这些问题近一半已经解决或基本解决,但还有些问题虽已取得重大进展,而未最后解决,如:Riemann猜想,Goldbach猜想等。对Hilbert在1900年提出的23个问题,现在回过头来看,有不少评论,但是很多人认为:这些问题,对推动20世纪数学的发展起了很大的作用,当然也有评论说其不足之处,例如这23个问题中未能包括拓扑、微分几何等在20世纪成为前沿学科领域中的数学问题;除数学物理外很少涉及应用数学等等。当然更不会想到20世纪电脑的大发展及其对数学的重大影响。20世纪数学的发展实际上是远远超出了Hilbert问题预示的范围。。另外二位是:庞加莱(HenriPoincaré,1854-1912)及克莱因(FelixKlein,1849-1925)。他们的数学思想及对数学的贡献,既反射出19世纪数学的光辉,也照耀着20世纪数学前进的道路。Hilbert在1900年作此讲演时,年仅38岁,但已经是当时举世公认的德高望重的三位领袖数学家之一。,新旧世纪交替之际作的讲演,现在又一个新的世纪开始了,再来看看他的讲演,其中一些话,现在仍然适用。例如在讲演一开始,他说:“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕,看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢?我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标?在广阔而丰富的数学思想领域,新世纪将会带来什么样的新方法和新成2果?”他还接着说:“历史教导我们,科学的发展具有连续性。我们知道,每个时代都有自己的问题,这些问题后来或者得以解决,或者因为无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。因为一个伟大时代的结束,不仅促使我们追溯过去,而且把我们的思想引向那未知的将来。”20世纪无疑是一个数学的伟大时代。21世纪的数学将会更加辉煌。“每个时代都有它自己的问题”。20世纪来临时,Hilbert提出了他认为是那个世纪的23个问题。这些问题对20世纪的数学发展起了很大的推动作用,但20世纪数学的成就却远远超出他所提出的问题。那末,21世纪的问题又是什么呢?在这个新、旧世纪之交,也有不少杰出的数学家提出了他们认为是21世纪的数学问题,但往往是“仁者见仁,智者见智”。到现在为止,所有提出的这些问题,还没有一些像Hilbert当时提出的23个问题那样为大家所普遍接受。对Hi