培优专题13 等腰三角形(含答案).doc

培优专题13_等腰三角形(含答案)61013艿9、等腰三角形莈袆【知识精读】莁(-):等腰三角形有两边相等;蚅定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。蒁推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。肀推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形;,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。薁(二)等腰三角形的判定***:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。)节推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。蚁推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。薈推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。。芅等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定。肅肄【分类解析】,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。求证:M是BE的中点。莀袇分析:欲证M是BE的中点,已知DM⊥BC,所以想到连结BD,证BD=ED。因为△ABC是等边三角形,∠DBE=∠ABC,而由CE=CD,又可证∠E=∠ACB,所以∠1=∠E,从而问题得证。螃证明:因为三角形ABC是等边三角形,D是AC的中点袀所以∠1=∠ABC螁又因为CE=CD,所以∠CDE=∠E芅所以∠ACB=2∠E袆即∠1=∠E羀所以BD=BE,又DM⊥BC,垂足为M羈所以M是BE的中点(等腰三角形三线合一定理),已知:中,,D是BC上一点,且,求的度数。薅肀分析:题中所要求的在中,但仅靠是无法求出来的。因此需要考虑和在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形,构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。荿解:因为,所以螈因为,所以;莄因为,所以(等边对等角)。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用,这一点在后边的解题中将进一步体现。“等边对等角”是对同一个三角形而言的。,而边证边算又是解决这类题目的常用方法。:如图,中,于D。求证:。莆羄分析:欲证角之间的倍半关系,结合题意,观察图形,是等腰三角形的顶角,于是想到构造它的一半,再证与的关系。荿证明:过点A作于E,蚈所以(等腰三角形的三线合一性质)肈因为蚃又,所以螃所以(直角三角形两锐角互余)聿所以(同角的余角相等)薆即螆说明:,构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线;,常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法,对角间的倍半关系也同理,或构造“半”,或构造“倍”。因此,本题还可以有其它的证法,如构造出的等角等。芈蒅4、中考题型:,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中的等腰三角形有():由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个,故选择C。肃2.)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分别是垂足。求证:AE=AF。羈莇证明:因为,所以肃又因为肃所以莈又D是BC的中点,所以袅所以肅所以,所以膃说明:证法二:连结AD,通过证明即可蝿薇5、题形展示:,中,,BD平分。芃求证:。膀肅分析一:从要证明的结论出发,在BC上截取,只需证明,考虑到,想到在BC上截取,连结DE,易得,