《数学奥林匹克专题讲座》讲数论.doc

薂第1讲数论的方法技巧(上)葿数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的****题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。薈小学数学竞赛中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有:膆 :若a,b是两个整数,b>0,则存在两个整数q,r,使得蚂 a=bq+r(0≤r<b),袀且q,r是唯一的。芀特别地,如果r=0,那么a=bq。这时,a被b整除,记作b|a,也称b是a的约数,a是b的倍数。袅 |c,b|c,且a,b互质,则ab|c。羆 :每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即芁螈其中p1<p2<…<pk为质数,a1,a2,…,ak为自然数,并且这种表示是唯一的。(1)式称为n的质因数分解或标准分解。羈 :设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为:肆 d(n)=(a1+1)(a2+1)…(ak+1)。蚂 :n与n+1之间不再有其他整数。因此,不等式x<y与x≤y-1是等价的。蒀下面,我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。螇一、利用整数的各种表示法膅对于某些研究整数本身的特性的问题,若能合理地选择整数的表示形式,则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有:肃 :n=an10n+an-110n-1+…+a0;袈 :a=bq+r;蒆芅 :n=2mt,其中t为奇数。膀例1红、黄、白和蓝色卡片各1张,每张上写有1个数字,小明将这4张卡片如下图放置,使它们构成1个四位数,并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是1998。问:红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字?薀芅解:设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3,a2,a1,a0,则这个四位数可以写成芅 1000a3+100a2+10a1+a0,薁它的各位数字之和的10倍是肈 10(a3+a2+a1+a0)=10a3+10a2+10a1+10a0,芈这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是莅 990a3+90a2-9a0=1998,肂 110a3+10a2-a0=222。蝿比较上式等号两边个位、十位和百位,可得肇 a0=8,a2=1,a3=2。蒅所以红色卡片上是2,黄色卡片上是1,蓝色卡片上是8。蒃芇解:依题意,得袅薅蕿罿 a+b+c>14,薄蚅说明:求解本题所用的基本知识是,正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。羀例3从自然数1,2,3,…,1000中,最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除?莇解:设a,b,c,d是所取出的数中的任意4个数,则蚇 a+b+c=18m,a+b+d=18n,螅其中m,n是自然数。于是莁 c-d=18(m-n)。腿上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数,即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r,则莆 a=18a1+r,b=18b1+r,c=18c1+r,袄其中a1,b1,c1是整数。于是螂 a+b+c=18(a1+b1+c1)+3r。薇因为18|(a+b+c),所以18|3r,即6|r,推知r=0,6,12。因为1000=55×18+10,所以,从1,2,…,1000中可取6,24,42,…,996共56个数,它们中的任意3个数之和能被18整除。膅例4求自然数N,使得它能被5和49整除,并且包括1和N在内,它共有10个约数。袄解:把数N写成质因数乘积的形式膃艿由于N能被5和72=49整除,故a3≥1,a4≥2,其余的指数ak为自然数或零。依题意,有膈(a1+1)(a2+1)…(an+1)=10。羄由于a3+1≥2,a4+1≥3,且10=2×5,故芀 a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1,羁即a1=a2=a5=…an=0,N只能有2个不同的质因数5和7,因为a4+1≥3>2,故由羇(a3+1)(a4+1)=10肄知,a3+1=5,a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2,a4+1=5,即N=52-1×75-1=5×74=12005。蚁例5如果N是1,2,3,…,1998,1999,2000的最小公倍数,那么N等于多少个2与1个奇数的积?蒈解:因为210=1024,211=2048>2000,每一个不大于2000的自然数表示为质因数相