泰勒公式.docx

三、柯西中值定理上面已经指出,如果连续曲线上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么这段弧上至少有一点,()表示,其中为参数,那么点处的切线斜率为弦的斜率为假定点对应于参数,曲线上点处的切线与弦平行可表示为柯西中值定理如果函数,满足(1)在闭区间上连续; (2)在开区间内可导,,使得证根据结论,引进辅助函数在上连续,在内可导,且,由罗尔定理知,至少存在一点,使得,即由,可知,由上式可得显然,如取,柯西中值定理即为拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理中如果加上条件,,柯西中值定理的结论最一般,拉格朗日中值定理次之, 设函数,在内可导,证明至少存在一点,,取,且当时,,对在上应用柯西中值定理,有即第六节泰勒公式不论是进行近似计算还是理论分析,我们总希望用一些简单的函数来逼近复杂函数,用简单函数逼近(近似表示)复杂函数是数学中的一种基本思想方法。本节将要介绍的定理就是用高阶多项式来逼近具有一定可微性的函数所得到的一个基本定理,在理论研究中和近似计算中有着重要的应用。一、泰勒公式的建立在介绍函数的微分时,我们知道当,并且很小时,有如下的近似的等式这个近似公式是用线性函数(一次多项式)来近似表示函数,这个近似公式具有形式简单、计算方便的特点,但有如下两个不足:(1)精度不高,计算误差仅仅是的高阶无穷小;(2)误差的表达式未知。现在的问题是:⑴能否找到一个适当的次多项式来逼近并使误差为的高阶无穷小?⑵如果能找到,那么使等式成立的与应该满足什么样的条件?也就是次多项式中的各个系数与有何关系?为了解决上述问题,我们提出如下的假设与要求:设函数在含的开区间内具有直到阶导数,需要求出一个次多项式要求在处的函数值以及它的直到阶导数值与在处的函数值以及它的直到阶导数值分别相等,即要求。按照这个要求,可以容易地得到中的各个系数为,,于是上面的多项式称为在处的泰勒多项式。下面我们证明用这个泰勒多项式来逼近得到的误差为的高阶无穷小。定理1(泰勒中值定理)如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数,那么对于,有,其中这里的是与之间的某个值。以下证明由泰勒多项式的定义,(),这里的称为拉格朗日型余项。当时,泰勒公式变成了拉格朗日中值公式:(其中位于与之间)所以,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。由定理可知,用泰勒多项式近似表达时,其误差为。如果对于某个固定的,当时,,则知道当时,,即用这个泰勒多项式来逼近得到的误差为的高阶无穷小。在公式中,在的特殊情况下应用中尤为重要。此时在与之间,因此可以记为,从而泰勒公式变成比较简单的形式,称为麦克劳林公式:,其中。由此得到近似公式:二、几个常用的泰勒公式例1求出函数的阶麦克劳林公式。解,.于是,().由这个公式知,取,即得近似公式误差为例2求出函数的阶麦克劳林公式。,于是按公式有其中,()同理可知函数的阶麦克劳林公式为其中函数的阶麦克劳林公式为其中函数的阶麦克劳林公式为其中泰勒公式中的余项可以有多种表达方法,其中前面的拉格朗日型余项表达式的优点在于在近似计算时可以用来估计误差的大小。然而的另外一种表达式,在处理函数极限时非常方便,我们介绍如下:当时,泰勒公式中的余项是比高阶的无穷小,也就是,这时的表达式称为皮亚诺()型余项。定理2如果函数在含有的开区间内具有直到阶的连续导数,则在内带有阶皮亚诺()型余项的泰勒公式为:三、泰勒公式的应用例3求极限解用三阶的带有皮亚诺余项的麦克劳林公式将和表示为,于是这说明与为等价无穷小,而不能用来代替,所以例4求极限解由于分母是,所以用二阶麦克劳林公式表示和于是