2014年考研数学三真题及答案.docx

2014年考研数学三真题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)
设limn→∞an=a,且a≠0,则当n充分大时有
(A)an>a2 (B) an<a2
(C) an>a-1n (D) an<a+1n
【答案】A。
【解析】
【方法1】直接法:
由limn→∞an=a,且a≠0,则当n充分大时有
an>a2
【方法2】排除法:
若取an=2+2n,显然a=2,且(B)和(D)都不正确;
取an=2-2n,显然a=2,且(C)不正确
综上所述,本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质
下列曲线中有渐近线的是
(A)y=x+sinx (B)y=x2+sinx
(C) y=x+sin1x (D) y=x2+sin1x
【答案】C。
【解析】
【方法1】
由于limx→∞f(x)x=limx→∞x+sin1xx=1=a
limx→∞fx-ax=limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0=b
所以曲线y=x+sin1x有斜渐近线y=x,故应选(C)
解法2
考虑曲线y=x+sin1x与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限
limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0
则直线y=x是曲线y=x+sin1x的一条斜渐近线,故应选(C)
综上所述,本题正确答案是(C)
【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线
设px=a+bx+cx2+→0时,若px-tanx是比x3 高阶的无穷小,则下列选项中错误的是
(A)a=0 (B)b=1
(C)c=0 (D)d=16
【答案】D。
【解析】
【方法1】
当x→0时,tanx-x ~ 13x3知,tanx的泰勒公式为
tanx=x+ 13x3+o(x3)
又limx→0px-tanxx3=limx→0a+b-1x+cx2+d-13x3+o(x3)x3=0
则a=0,b=1,c=0,d=13
【方法2】
显然,a=0,
limx→0px-tanxx3=limx→0a+bx+cx2+dx3-tanxx3=limx→0b+2cx+3dx2-sec2x3x2
由上式可知,b=1,否则等式右端极限为∞,则左端极限也为∞,与题设矛盾。
limx→0px-tanxx3=limx→02cx+3dx2-sec2x3x2=limx→02c3x+d-13
故c=0,d=13
综上所述,本题正确答案是(D)。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较
设函数f(x)具有二阶导数,gx=f01-x-f(1)x,则在区间[0,1]上
(A)当f'(x)≥0时,f(x)≥g(x)
(B)当f'(x)≥0时,f(x)≤g(x)
(C)当f''(x)≥0时,f(x)≥g(x)
(D)当f''(x)≥0时,f(x)≤g(x)
【答案】D。
【解析】
【方法1】
由于f0=g0,f1=g1,则直线y=f01-x-f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f''(x)≥0时,曲线y=f(x)在区间[0,1]上是凹的,曲线y=f(x)应位于过两个端点(0,f(0))和(1,f1)的弦
y=f01-x-f(1)x的下方,即 f(x)≤g(x)
【方法2】
令Fx=fx-gx=fx-f01-x-f(1)x,则
F'x=f'x+f0-f(1),F''x=f''(x),
当f''(x)≥0时,F''x≥0。则曲线Fx在区间[0,1]上是凹的,又F0=F1=0,
从而,当x∈[0,1]时,F(x)≤0,即f(x)≤g(x)
【方法3】
令Fx=fx-gx=fx-f01-x-f(1)x,
则Fx=fx[1-x+x]-f01-x-f(1)x,
=1-xfx-f0-x[f1-fx]
=x1-xf'ξ-x1-xf'(η) ξ∈0,x,η∈x,1
=x1-x[f'ξ-f'(η)]
当f''(x)≥0时,f'(x)单调增,f'ξ≤f'(η),从而,当x∈[0,1]时, F(x)≤0,即f(x)≤g(x)
综上所述,本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明
行列式0aa0 0 d00d=
(A)(ad-bc)2 (B)- (ad-bc)2
(C)a2d2-b2c2 (D) b2c2-a2d2
【答案】B。
【解析】灵活使用拉普拉斯公式
0aa0 0 d00d=-c0a0 0d0b0c0a d0b0