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第一章集合与函数概念
一、集合
1、集合的含义与表示
一般地,我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。通常用大写字母A,B,C,D,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示元素。

⑴确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如,“中国的直辖市”构成一个集合,北京、上海、天津、重庆在这个集合中,杭州、南京、广州……不在这个集合中。“身材较高的人”不能构成集合;因为组成它的元素是不确定的。
⑵互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的),即,集合中的元素是不重复出现的。相同元素、重复元素,不论多少,只能算作该集合的一个元素。
⑶无序性:不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同,就认为是同一个集合。
3、集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的。
4、元素与集合的关系
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作aA。
5、常见的数集及记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N;所有正整数组成的集合称为正整数集(在自然数集中排除0的集合),记N*或N+;全体整数组成的集合称为整数集,记Z;全体有理数组成的集合称为有理数集,记Q;全体实数组成的集合称为实数集,记R。
拓展与提示:⑴无序性常常作为计算时验证的重要依据。
⑵注意N与N*的区别。N*为正整数集,而N为非负整数集,即0∈N但0 N*。
⑶集合的分类按元素个数
按元素的特征可分为:数集,点集,形集等等。
特别地,至少有一个元素的集合叫做非空集合;不含有任何元素的集合叫做空集(),只含有一个元素的集合叫做单元素集。
例已知
解析①②
解①得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。
解②得x= -1或1(舍去)
这时y=0
∴x= -1,y=0
6、集合的表示方法
⑴列举法:把集合中的所有元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。适用条件:有限集或有规律的无限集,形式:
⑵描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,具体方法是:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围;再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件:一般适合于无限集,有时也可以是有限集。形式:,其中x为元素,p(x)表示特征。
拓展与提示:如果集合中的元素的范围已经很明确,那么x∈D可以省略,只写其元素x,如可以表示为。
(3)韦恩图法:把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。
例用适当的方法表示下列集合,并指出它是有限集还是无限集:
⑴由所有非负奇数组成的集合;
⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合;
⑶方程x2+x+1=0的实数根组成的集合。
解:⑴由所有非负奇数组成的集合可表示为:,无限集。
⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为:,无限集。
⑶方程x2+x+1=0的判别式的Δ<0,故无实数,方程x2+x+1=0的实根组成的集合是空集。
7、集合的基本关系
⑴子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个无素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作,读作“A含于B”(或“B包含A”)。可简述为:若,则集合A是集合B的子集。
⑵集合相等:如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B。
数学表述法可描述为:对于集合A、B,若,且,则集合A、B相等。
⑶真子集:如果集合,但存在元素,且,我们称集合A是集合B的真子集,记作或说:若集合,且A≠B,则集合A是集合B的真子集。
⑷空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为,并规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
拓展与提示:(1) 。(2) B(其中B为非空集合)(3)对于集合A,B,C,若。(4)对于集合A,B,C,若,C则C(5)对于集合A,B,若。(6)含n元素的集合的全部子集个数为2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个。(7)不同,前者为包含关系,后者为属于关系。
8、集合间的基本运算
拓展与提示:对于任意集合A、B,有(1)(2);
(3);(4)。
⑴并集:一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B”),即
拓展与提示:对于任意集合A、B,有(1) (2);
(3);(4);(5)。
⑵交集:一般地,由