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已知椭圆C中心在原点O.doc

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圆锥曲线典例
1、已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为,(1)求椭圆C的方程。(2)AB为椭圆C上满足的面积为的两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C与点P,设,求实数t的值。
解:略(2)设直线方程将其代入整理得
,=
,=即(1)
另设,,
整理得将代入(1)得
2、已知椭圆的两个焦点分别为、,若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.
[解](1)设椭圆的方程为.
容易求得椭圆的方程为. 当直线的斜率不存在时,其方程为,不符题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
由得. 设,则

因为,所以,即

, 解得,即.
故直线的方程为或.
x
O
y
B
l1
l2
P
D
A
3、如图,点是椭圆的一个顶点,,其中交圆于两点,交椭圆于另一点
(1)求椭圆的方程; (2)求面积取最大值时直线的方程.
解:(Ⅰ)由已知得到,且,所以椭圆的方程是;
(Ⅱ)因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦;
由,所以
,所以
,
当时等号成立,此时直线
(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点.
解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C(x,y),MN线段的中点为E如图,
(Ⅱ) 点B(-1,0)
直线PQ方程为:

所以,直线PQ过定点(1,0)

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