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浅析幂级数展开式的应用
摘要:函数展成幂级数能解决许多疑难问题。本文讨论了幂级数展开式在解决数学问题中的应用。
关键词:函数;幂级数;展开式
Analyses the Application of the Power Series Expansions
Abstract:Function generative power series can solve a lot of difficulty .This paper discussed the power series expansions of the application in solving math problems.
Key words:function,power series,expansion
目录
0 引言 1
1 幂级数的展开 1
直接展开法 1
间接展开法 1
2 幂级数展开式的应用 2
利用幂级数求极限 2
幂级数在不等式证明中的应用 2
幂级数在组合恒等式中的应用 3
应用幂级数求高阶导数 4
应用幂级数展开式推导欧拉公式 5
求非初等函数的原函数 5
利用幂级数求数项级数的和 6
幂级数在微分方程中的应用 7
幂级数应用于近似计算 8
3 结束语 11
参考文献 11
致谢 12
浅析幂级数展开式的应用
0 引言
形如的函数项级数称为幂级数,巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质,常能将问题化难为易,简化计算.
1 幂级数的展开
函数展开成幂级数主要有直接展开和间接展开两种方法.
直接展开法
,函数的各阶导数不一定容易求得,其次,要证明余项,即使在初等函数中也是比较困难的.
间接展开法
间接展开法是根据函数的幂级数展开式的唯一性,选择与待展函数有关的已知函数展开式对其进行必要的运算,一般用的方法有:
(1)应用基本展开式,通过变量替换或恒等变形转化为可应用基本展式;
(2)应用逐项求导或逐项积分法;
(3)应用级数的用算,如加、减、乘、除等;
(4)用待定系数法.
这样简化计算过程,.
2 幂级数展开式的应用
幂级数是一类简单的函数项级数,通过幂级数的展开式来表示函数常能解决许多疑难问题,它在求极限、不等式的证明、组合分析、欧拉公式的推导、近似计算等方面有很重要的作用.
利用幂级数求极限
例1 求极限.
解因为

所以我们可以得到

又因为
所以

幂级数在不等式证明中的应用
例2 证明不等式.
证明因为

而

由于
所以就可以得到
幂级数在组合恒等式中的应用
例3 证明.
证明由于

所以是展开式的系数,同理可得
是展开式的系数
从而得到
是展开式的系数
又
所以
应用幂级数求高阶导数
例4 设,求.
解由题目知
令,则上式就为

由此可以得到

应用幂级数展开式推导欧拉公式
例5 试用幂级数展开式推导欧拉公式:
.
解当为实数时,由指数函数的幂级数展开式知

用纯虚数代替变量,有
由于
,,,,,
从而得到
即

在式中以替换可得

由两式可得

求非初等函数的原函数
例6 求连续函数的原函数.
解由积分知识我们可知的原函数为

因为

令,从而得到

对幂级数在收敛区间内逐项求积分得
利用幂级数求数项级数的和
例7 计算数项级数的和.
解首先构造一个辅助幂级数使其符合下面条件:
使为幂级数当取特定值时的结果
辅助幂级数容易求和
本题取辅助级数,此时其收敛域为,然后求辅助幂级数的和函数


记

从而得到

所以



幂级数在微分方程中的应用
例8 求方程满足初始条件,的特解.
解设是的特解
则
由,得
,
将与代入中得
由于左边恒等于零,则各项系数必为零,即



由此可以得到和递推公式
由得,进而得到皆为;
由得,进而得到皆为;
由得,.
故所求特解为:
幂级数应用于近似计算
函数值的计算
例9 计算的近似值,使之绝对误差不超过.
解因为
由
令得
由于

所以

例10 计算,绝对误差不超过.
解设,则